函数的基本性质（人教A版必修1）.doc

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1、1.3　函数的基本性质【入门向导】　数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？从

2、图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1．这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y＝x2－2x＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性

3、，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．3．有的函数无单调性．如函数y＝它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y＝x2＋1，x∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取x1，x2时必须注意如下三点：①x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，

4、“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；②x1与x2有大小，一般规定x1

5、)判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．例1证明：函数y＝x3(x∈R)是增函数．证明　设x1，x2是R上的任意两个实数，且x10.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

6、＝x3(x∈R)是增函数．三、单调区间的求解1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区

7、间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．函数奇偶性学法指导一、学习要点1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x)的奇偶性．(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数

8、的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．5．在公共定义域内：(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．以上两条同学们可以自行验证．6．设f(x)