圆内接四边形性质定理.doc

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1、CD·OBAEP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则：一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180°二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP∽△ADP四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。CABD·Oαβ如图，连接OB、OD则∠A=β，∠C=α∵α+β=360°∴∠

2、A+∠C=×360°=180°同理得∠B+∠D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO并延长，交⊙O于E。连接AE、CE。则BE为⊙O的直径∴∠BAE=∠BCE=90°∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180°即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等）∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180°即∠BAD+∠BCD=180°∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=3

3、60°-（∠A+∠C）=180°（四边形内角和等于360°）【证明】方法三：A·OBCD12435678利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC、BD，将∠A、∠B、∠C、∠D分为八个角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6（同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=×360°=180°∵∠1+∠2=∠A∠5+∠6=∠C∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°（四边形内角和等于360°）二、圆内

4、接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明CD·OBAEP如图，求证：∠DCE=∠BAD∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP∽△ADP，△ABP∽△DCP证明：∵∠CBP=∠DAP，∠BCP=∠ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又∵∠APD=∠BPC（对顶角相等）∴△BCP∽△ADP∵∠BAP=∠CDP，∠ABP=∠DCP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又∵∠APB=∠DPC（对顶角相等）∴△ABP∽△DCP二、相交弦定理

5、仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP证明：∵△BCP∽△ADP（圆内接四边形对应三角形相似）∴（相似三角形的三边对应成比例）∴AP×CP=BP×DPCD·OBAEP三、托勒密定理求证：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB×CD+AD×BC=AC×BD【证明】方法一：作辅助线AE，使∠BAE=∠CAD，交BD于点E∵∠ABE=∠ACD（同弧AD所对的圆周角相等）BACE·OD又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴，即AB×CD=AC×BE(1)∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC即∠BAC=∠EAD又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所对的圆周角相等）

6、∴△ABC∽△AED∴，即BC×AD=AC×DE(2)(1)+(2),得∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和≥对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABC

7、D四点共圆时取等号。证明如下：在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD，则△ABE∽△ACD∴BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD∴BE*AC=AB*CD①,AB/AE=AC/AD∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC即∠BAC=∠DAE又∵AB/AE=AC/AD,∴△ABC∽△AED∴BC/ED=AC/AD∴ED*AC=AD*BC②①+②,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又∵BE+ED