2.2 圆内接四边形的性质与判定定理

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1、2.2圆内接四边形的性质与判定定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90º的圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理圆心角定理推论1推论2【温故知新】二.圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称多边形的外接圆.思考:任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么?任意矩形有外接圆吗?等腰梯形呢?一般地,任意四边形都有外接

2、圆吗?ABCDOABCDADBCDABC如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?DABC如图（1）连接OA,OC.则∠B=.∠D=性质定理1圆内接多边形的对角互补将线段AB延长到点E,得到图（2）（1）DABCE（2）性质定理2圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。性质定理1圆内接四边形的对角互补性质定理2圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.性质定理的逆命题成立吗？假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°

3、求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：(1)如果点D在⊙O外部。则（1）（2）∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论

4、证,最后获证结论的方法---------穷举法推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.DABCE例1如图，都经过A,B两点。经过点A的直线CD与交于点C,与交与点经过点B的直线EF与交于点E,与交与点F.ACDEBF证明：连接AB∴∠BAD=∠E.∴∠BAD+∠F=180°∴∠E+∠F=180°∴CE//DF.求证：CE//DF.∵四边形ABEC是的内接四边形。∵四边形ADFB是的内接四边形。例2如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆AFBP

5、QC证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BCFQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90º.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆习题2.21.AD,BE是△ABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。CABEDo3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.求证：

6、∠CFG=∠DGF.ABEFGDC2.3圆的切线的性质及判定定理三.圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系:相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点切线的性质定理:O切线的性质定理逆命题是否成立?M反证法推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直

7、线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△ABO中OB>OA=r故B在圆外例1如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD.∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90º∴∠ODE=90º又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线..AOBDCE例2如图.AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.ABOCD证明:连接OC,∴O

8、C⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,习题2.31.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与⊙O相切.E2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上