高三一轮复习函数的概念与性质.doc

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1、函数的概念【知识要点】一、函数的概念：1、定义：（、、、都是函数吗？）2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域；3、图像特征：在函数的定义域内作垂直于x轴的直线，它与函数图像有且只有一个交点；4、表示方法：解析法、图像法、列表法等；5、函数的运算：函数的和与积（关键：定义域求交集）。二、定义域（集合或区间表示）：1、分式：分母；2、偶次根式（N*）：被开方数；3、零次幂：底数；4、对数（且）：真数；5、正切：，Z；此外，要注意实际问题中的背景意义。【例题解析】1、判断下列函数是否是同一函数？（1）与；（否）（2）与；（否）

2、（3）与；（否）（4）与；（是）（5）与；（否）（6）与；（否）（7）与；（是）（8）与。（是）2、求下列函数的定义域：（1）；（）（2）；（）（3）；（）（4）。（）1、已知函数的定义域为，则函数的定义域为；【变式1】已知的定义域为，则的定义域为；【变式2】已知的定义域为，则的定义域为。2、已知，求的解析式。（）【变式1】已知，求的解析式。（）【变式2】已知函数的定义域为，且满足，求函数的解析式。（，）3、（1）已知，，则；（2）已知的定义域为，则的定义域为；（3）设，则；（4）设，且，则3；（5）设，若，则。1、（1）

3、已知的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）已知的值域为R，求实数a的取值范围。【解】（1）由题意，得：恒成立，则，解得：实数a的取值范围是。（2）由题意，得：可以取得一切正实数，所以，解得：实数a的取值范围是。【变式】若函数的值域为R，则数a的取值范围是。2、已知，，求函数和的解析式。【解】当时，；当时，；所以，；。3、设函数的定义域为，且满足，求的解析式。【解】在①中用替代x，得：②，联立①和②，解得：（）。【变式】已知满足，其中m、n为常数，，求函数的解析式。【解】设，则，所以①，在①式中用替换t，得：②，联立①和②

4、，解得：，所以，。函数的性质（1）——奇偶性和单调性【知识要点】一、函数的奇偶性：1、定义：对于函数，若对定义域D内任意实数x，都有，则称函数为偶函数；若对定义域D内任意实数x，都有，则称函数为奇函数。2、常用性质：（1）奇（偶）函数的定义域关于原点对称；（2）图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；（3）若奇函数在原点处有定义，则；（4）奇偶函数的运算性质：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（5）常见函数的奇偶性：1°常函数（R）是偶函数，当且仅当时，常函数（R）既是奇函数也是偶函数；2°一次

5、函数（）是奇函数的充要条件是；3°二次函数（）是偶函数的充要条件是。二、函数的单调性：1、定义：对于函数以及定义域内的给定区间I，如果任意、，且，总有（），则称是区间I上的单调递增（减）函数，区间I称为的单调递增（减）区间；2、常用性质：（1）若在区间I上单调递增（减），c为任意常数，则在区间I上也单调递增（减）；（2）若在区间I上单调递增（减），k为任意非零常数，当时，在区间I上单调递增（减）；当时，在区间I上单调递减（增），特别地，当时，在区间I上单调递减（增）；（3）运算性质：增增增，减减减，增减增，减增减；（4）设

6、为区间I上的增（减）函数，且在区间I上不变号，则为区间I上的减（增）函数；（5）若偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上单调递减（增）；若奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上单调递增（减）；（6）复合函数的单调性：同增异减；（7）常见函数的单调性：1°一次函数（）；2°二次函数（）；3°反比例函数（），变式：（，）；4°（，）和（，）：xyO（，）yxO（，）图像定义域奇偶性奇函数递增区间，，递减区间，无渐近线，【例题解析】1、判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9

7、）；（10）；（11）；（12）。【解】（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数；（4）非奇非偶函数；（5）函数的定义域为{，Z}，偶函数；（6）函数的定义域为，为奇函数；（7）因为恒成立，所以函数的定义域为R，，所以，函数为奇函数；（8）奇函数；（9），{，1}既是奇函数又是偶函数；（10）函数的定义域为R，，，所以，函数为偶函数；（11）偶函数；（12）当时，函数为偶函数；当时，即，即，所以函数为非奇非偶函数。1、（1）若函数是偶函数，则实数a、b、c、d应满足的条件是a=1，b∈R，c=2，d∈R；【变式】若（

8、）是偶函数，则1，3；（2）若是奇函数，则实数1；【变式1】若是奇函数，则实数1；【变式2】若是奇函数，则实数1；（3）设，且，则11；5O2yx【变式】（2012年上海卷理科）已知是奇函数，且。若，则；（4）设奇函数的定义域为，若当时，的图像如右图所示，则不等式的解集为；13xyO【变式】已知定义在上