中考数学一模试卷有答案.pdf

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中考数学一模试卷一、选择题1．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么tanB的值等于（）A．B．C．D．22．将抛物线y=x先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得抛物线（）2222A．y=（x﹣1）﹣2B．y=（x+1）﹣2C．y=（x﹣1）+2D．y=（x+1）+23．如图，C是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．70°C．105°D．150°4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．5．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．在直角坐标系中，如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为？（）A．3B．4C．5D．626．已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：2①b﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）第1页共31页 A．1B．2C．3D．47．如图，A，B，E为⊙0上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（）A．B．4C．2D．622228．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c9．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米10．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且第2页共31页 在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2B．4C．4D．8二、填空题11．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D．如果∠A=35°，那么∠C等于．12．如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为．13．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，若∠P=40°，则∠DOE=．14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为．第3页共31页 三、解答题215．计算：2sin30+°4cos30°?tan60﹣°cos45°．216．已知抛物线y=x+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2），求这个抛物线的顶点坐标．17．如图，一段圆弧AB上有一个点D，直线AC与圆弧相切于点A，请借助于切点A及B、D两点，利用尺规作图找出这段圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．18．如图，在直径为50cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40cm，弦CD为48cm，求AB与CD之间距离．19．如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．求：（1）tanC；（2）图中两部分阴影面积的和．20．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货第4页共31页 商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；（2）求售价x的范围；（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？21．今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山巅C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°，点C到水平线AM的距离为600米．（1）求B点到水平线AM的距离．（2）求斜坡AB的坡度．222．已知抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），其顶点为P，直线y=kx+b过抛物线与x轴的一个交点A，且与抛物线相交的另外一个交点为C，若S△ABC=10，请你回答下列问题：（1）求直线的解析式；（2）求四边形APBC的面积．23．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，联结PD．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=，求EG的长．24．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，切线CD交AB的延长线于D．（1）求证：△CBD∽△ACD．第5页共31页 （2）若CD=4，BD=2，求直径AB的长．（3）在（2）的前提下求tan∠CAB的值．225．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．第6页共31页 2016年陕西省西安市XX中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么tanB的值等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】根据三角函数的定义及勾股定理解答即可．222【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，tanB=，a+b=c，又∵sinA=知，∴设a=3x，则c=5x，b=4x．∴tanB=．故选D．【点评】求锐角的三角函数值的方法：①根据锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．②利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．22．将抛物线y=x先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得抛物线（）2222A．y=（x﹣1）﹣2B．y=（x+1）﹣2C．y=（x﹣1）+2D．y=（x+1）+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．2【解答】解：抛物线y=x先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得抛物线y=2（x﹣1）﹣2，故选：A．【点评】本题考查了函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3．如图，C是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）第7页共31页 A．35°B．70°C．105°D．150°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理进行求解即可．【解答】解：根据圆周角定理，可得：∠O=2∠C=70°．故选B．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．第8页共31页 5．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．在直角坐标系中，如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为？（）A．3B．4C．5D．6【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】如图，连接OP交⊙P于E，作PF⊥x轴于F．由题意可知点O（0，0）到⊙P的距离为线段OE的长．【解答】解：如图，连接OP交⊙P于E，作PF⊥x轴于F．∵P（3，4），∴OF=3，PF=4，在Rt△POF中，OP===5，∵PE=1，∴OE=4，由题意点O（0，0）到⊙P的距离为4．故选B．【点评】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：2①b﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4第9页共31页 【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．2【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；2③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．如图，A，B，E为⊙0上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（）A．B．4C．2D．6【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OB，由垂径定理可知，AB=2BD，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt△DOB中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB，第10页共31页 ∴AD=BD，即AB=2BD，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1，∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C．【点评】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数及圆周角定理，作出合适的辅助线，运用三角函数是解答此题的关键．22228．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答．2【解答】解：由二次函数y=ax的性质知，2（1）抛物线y=ax的开口大小由|a|决定．|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．第11页共31页 2（2）抛物线y=ax的开口方向由a决定．当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方；当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方．根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d．故选A．【点评】此题只要熟悉二次函数的性质，就可以解答．9．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵i==，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．10．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2B．4C．4D．8第12页共31页 【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形，求得AB=OA=2，根据已知条件即可得到结论．【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．故选C．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为D．如果∠A=35°，那么∠C等于20°．第13页共31页 【考点】切线的性质．【分析】连接OD，则可求得∠DOC，由切线的性质可知∠ODC=90°，在Rt△OCD中可求得∠C．【解答】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，∵AB为直径，∴∠COD=2∠A=70°，∴∠C=90°﹣70°=20°，故答案为：20°．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．12．如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为20πcm．【考点】弧长的计算；旋转的性质．【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径，旋转的角度是180﹣60=120°，所以根据弧长公式可得．第14页共31页 【解答】解：=20πcm．故答案为20πcm．【点评】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质，解本题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．13．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，若∠P=40°，则∠DOE=70°．【考点】切线的性质．【分析】分别连接OA、OB、OC，由四边形内角和可求得∠AOB，再根据切线和定理可求得∠DOC+∠EOC，则可求得答案．【解答】解：如图，分别连接OA、OB、OC，∵PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣∠P=140°，∵DA、DC是⊙O的切线，∴OD平分∠AOC，∴∠DOC=∠AOC，同理可得∠EOC=∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=70°，故答案为：70°．第15页共31页 【点评】本题主要考查切线的性质及切线长定理，根据切线长定理求得∠DOE=∠AOB是解题的关键，注意整体思想的应用．14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为．【考点】正多边形和圆．【分析】根据圆周角定理求得∠AEC=90°，由勾股定理求出AM的长，再证明△AMB∽△CME，根据相似三角形对应边比例即可求出CE的长．【解答】解：连接AC，BE，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=2，∵AE平分BC，∴BM=CM=1，∵四边形ABCD为圆内正方形，∴AC必过圆心O，且∠AEC=∠ABC=90°，∵∠CME=∠AMB，∴△AMB∽△CME，∴．∵AM===，∴，第16页共31页 ∴CE=．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．三、解答题215．计算：2sin30+°4cos30°?tan60﹣°cos45°．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案．【解答】解：原式=2×+4×?﹣=1+6﹣=．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．216．已知抛物线y=x+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2），求这个抛物线的顶点坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式，配方成抛物线的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标．2【解答】解：（1）把点（1，﹣4）和（﹣1，2）代入y=x+bx+c，得，2解得，所以抛物线的解析式为y=x﹣3x﹣2．第17页共31页 22y=x﹣3x﹣2=（x﹣）+，所以抛物线的顶点坐标为（，）．【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是正确求出二次函数的解析式．17．如图，一段圆弧AB上有一个点D，直线AC与圆弧相切于点A，请借助于切点A及B、D两点，利用尺规作图找出这段圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】作图—复杂作图；垂径定理；切线的性质．【专题】作图题．【分析】过点A作直线a⊥AC，根据切线的性质可判断圆心在直线a上，再连接BD，作BD的垂直平分线b，根据垂径定理可得到圆心在直线b上，则直线a和b的交点为圆心O．【解答】解：如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和垂径定理．18．如图，在直径为50cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40cm，弦CD为48cm，求AB与CD之间距离．第18页共31页 【考点】垂径定理；平行线的性质．【分析】根据题意画出图形，分AB与CD在圆心的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：如图1所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM===15cm．同理可求ON===7cm，∴MN=OM﹣ON=15﹣7=8cm．当两弦位于圆心的两旁时，如图2所示：过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM===15cm．同理可求ON===7cm，则MN=OM+ON=15+7=22（cm）．综上所示，AB与CD之间的距离为8cm或22cm．第19页共31页 【点评】此题主要考查的是垂径定理，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．分类讨论训练学生思维的严谨性．19．（2011?福州）如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．求：（1）tanC；（2）图中两部分阴影面积的和．【考点】切线的性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】（1）连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；（2）设⊙O与BC交于M、N两点，由（1）得：四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据，OE=3，求出，根据S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OE，∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，∴AD⊥OD，AE⊥OE，∴∠ADO=∠AEO=90°，又∵∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形，∴OD∥AC，OD=AD=3，∴∠BOD=∠C，∴在Rt△BOD中，，∴．答：tanC=．第20页共31页 （2）如图，设⊙O与BC交于M、N两点，由（1）得：四边形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°，∴∠COE+∠BOD=90°，∵在Rt△EOC中，=，OE=3，∴，∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=，∴S阴影=S△BOD+S△COE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）=，答：图中两部分阴影面积的和为．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．20．（2014?荆门）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；（2）求售价x的范围；（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】销售问题．第21页共31页 【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；（2）根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（3）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；（2）根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．所以y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（3）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），2整理得：W=﹣5（x﹣320）+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．21．今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山巅C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°，点C到水平线AM的距离为600米．（1）求B点到水平线AM的距离．（2）求斜坡AB的坡度．第22页共31页 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，根据在C点测得B点的俯角为30°，可得∠CBD=30°，继而可求得CD的长度，进而求出BE；（2）先利用勾股定理求出AE的长度，再根据坡度的定义即可求得AB的坡度．【解答】解：（1）如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，在C点测得B点的俯角为30°，∴∠CBD=30°，又BC=400米，∴CD=400×sin30°=400×=200（米），∴BE=DF=CF﹣CD=600﹣200=400（米），即B点到水平线AM的距离为400米；（2）∵BE=400米，AB=1040米，∠AEB=90°，∴AE===960（米），∴斜坡AB的坡度iAB====1：2.4，故斜坡AB的坡度为1：2.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，要求同学们熟练掌握坡度的定义．222．已知抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），其顶点为P，直线y=kx+b过抛物线与x轴的一个交点A，且与抛物线相交的另外一个交点为C，若S△ABC=10，请你回答下列问题：（1）求直线的解析式；（2）求四边形APBC的面积．第23页共31页 【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．22【分析】（1）令y=0，则x﹣2x﹣3=0，得到A（﹣1，0），B（3，0），设C（m，m﹣2m﹣3），根据三角形的面积得到C（4，5）或（﹣2，5），解方程组即可得到结论；（2）根据抛物线的解析式得到P（1，﹣4），根据三角形的面积公式即可得到结论．2【解答】解：（1）令y=0，则x﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），2设C（m，m﹣2m﹣3），2∴S△ABC=×4×|m﹣2m﹣3|=10，∴m=4或m=﹣2，∴C（4，5）或（﹣2，5），∴或，∴或，∴直线的解析式为：y=x+1或y=﹣5x﹣5；22（2）如图，∵y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，∴P（1，﹣4），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴四边形APBC的面积=S△ABC+S△ABP=×4×5+×4×4=18．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，抛物线与x轴的交点坐标的运用，解答时求出点C的坐标是关键．第24页共31页 23．（2015?黄冈模拟）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，联结PD．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=，求EG的长．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OD．欲证PD是⊙O的切线，只需证明OD⊥PD即可；通过全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的对应角∠OCP=∠ODP=90°来证明该结论；（2）作FM⊥AB于点M，先求得∠3=∠APC，从而求得，得出CE=4，OE=3，然后证得△OFM≌△OCE，得出FM=CE=4，OM=OE=3．在Rt△OCE中，，设PC=4k，OP=5k，则OC=3k，进而得出，从而求得，，通过△PGE∽△PFM得出，即可求得EG的长．【解答】（1）PD与⊙O相切于点D；证明：连接OD∵在⊙O中，OD=OC，AB⊥CD于点E，∴∠COP=∠DOP．在△OCP和△ODP中∴△OCP≌△ODP（SAS）．∴∠OCP=∠ODP．又∵PC切⊙O于点C，OC为⊙O半径，∴OC⊥PC，第25页共31页 ∴∠OCP=90°．∴∠ODP=90°．∴OD⊥PD于点D．∴PD与⊙O相切于点D．（2）作FM⊥AB于点M．∵∠OCP=90°，CE⊥OP于点E，∴∠3+∠4=90°，∠APC+∠4=90°．∴∠3=∠APC．∵，∴Rt△OCE中，．∵CF=10，∴．∴CE=4，OE=3．又∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴∠FMO=∠CEO=90°．在△OFM和△OCE中∴△OFM≌△OCE（AAS）．∴FM=CE=4，OM=OE=3．∵在Rt△OCE中，，设PC=4k，OP=5k，∴OC=3k．∴3k=5，．∴．∴，．又∵∠FMO=∠GEP=90°，∴FM∥GE．第26页共31页 ∴△PGE∽△PFM．∴，即．∴．【点评】本题考查了切线的判断和性质，三角形全等的判断和性质，相似三角形的判断和性质，直角三角函数等，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．24．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，切线CD交AB的延长线于D．（1）求证：△CBD∽△ACD．（2）若CD=4，BD=2，求直径AB的长．（3）在（2）的前提下求tan∠CAB的值．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形．【专题】证明题．【分析】（1）由AB为直径得到∠ACO+∠BCO=90°，利用切线的性质得∠BCO+∠BCD=90°，则根据等角的余角相等得到∠BCD=∠ACO，加上∠ACO=∠A，则∠A=∠BCD，则可根据相似三角形的判定方法可得到结论；（2）由△CBD∽△ACD得到DC：DA=DB：DC，然后利用比例性质可求出AB；（3）由△CBD∽△ACD得到===，然后根据正切的定义求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵CD为切线，第27页共31页 ∴OC⊥CD，∴∠BCO+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠A=∠BCD，而∠BDC=∠CDA，∴△CBD∽△ACD；（2）解：∵△CBD∽△ACD，∴DC：DA=DB：DC，即4：（2+AB）=2：4，∴AB=6；（3）解：∵△CBD∽△ACD，∴===，在Rt△ABC中，tan∠CAB==．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．也考查了切线的性质．225．（2015?石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值；（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；第28页共31页 （3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【解答】解：（1）将A（3，0）代入，得m=1．2∴抛物线的表达式为y=x﹣2x﹣3．B点的坐标（﹣1，0）．22（2）y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4．∵当﹣2＜x＜1时，y随x增大而减小；当1≤x＜3时，y随x增大而增大，∴当x=1，y最小=﹣4．当x=﹣2，y=5．∴y的取值范围是﹣4≤y＜5．（3）当直线y=kx+b经过B（﹣1，0）和点（4，2）时，解析式为y=x+．当直线y=kx+b经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，解析式为y=x﹣．结合图象可得，b的取值范围是﹣＜b＜．第29页共31页 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．第30页共31页 第31页共31页