第二十四章圆知识点及典型例题.pdf

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1、一、圆的概念只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；中任意2个条件推出其他3个结论。3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。轨迹形式的概念：即：在⊙O中，∵AB∥CDCD1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；∴弧AC弧BDO（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段

2、的垂直平分线（也叫六、圆心角定理AB中垂线）；圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，E3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定F个结论中，长的两条直线；O只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，D5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相即：①AOBDOE；②ABDE；等的一条直线。AC③OCOF；④弧BA弧BDB二、点与圆的位置关系1、点在圆

3、内dr点C在圆内；C七、圆周角定理A2、点在圆上dr点B在圆上；d1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。r3、点在圆外dr点A在圆外；OB即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角三、直线与圆的位置关系dBO∴AOB2ACB1、直线与圆相离dr无交点；CA2、圆周角定理的推论：2、直线与圆相切dr有一个交点；DC推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆3、直线与圆相交dr有两个交点；周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角BO∴CDA推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角

4、所对的弧rCdd=rrd是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径BA四、圆与圆的位置关系(选记)O推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是外离无交点dRr；直角三角形。外切有一个交点dRr；C即：在△ABC中，∵OCOAOB相交有两个交点RrdRr；∴△ABC是直角三角形或C90内切有一个交点dRr；注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上BA内含无交点dRr；O的中线等于斜边的一半的逆定理。五、垂径定理八、圆内接四边形垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

5、DAC圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的内对角。两条弧；即：在⊙O中，（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；O∵四边形ABCD是内接四边形E（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦BCD∴CBAD180BD180E所对的另一条弧ABDAEC以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB九、切线的性质与判定定理A（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线

6、；十三、圆的公切线(选记)BO两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可两圆公切线长的计算公式：CO1即：∵MNOA且MN过半径OA外端2222（1）公切线长：RtO1O2C中，ABCO1O1O2CO2；O2∴MN是⊙O的切线MAN（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。之和。以上三个定理及推论也称二推一定理：十四、圆内正多边形的计算(选记)即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个

7、条件就能推出最后一个。正多边形计算的解题思路：十、切线长定理连接OAB转化作垂线段OD转化正多边形等腰三角形直角三角形切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相B等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。即：∵PA、PB是的两条切线O（1）正三角形CP∴PAPB在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OPO平分BPAABAD十一、圆幂定理(选记)BC（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相OD:BD:OB1:3:2；D等。OBO（2）

8、正四边形AD即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，EP同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：∴PAPB