第二十四章圆知识点及典型例题.docx

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1、一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两

2、条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；Ad3、点在圆外dr点A在圆外；rO三、直线与圆的位置关系Bd1、直线与圆相离dr无交点；只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CDCD∴弧AC弧BDO六、圆心角定理AB圆心角定理：同圆

3、或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB⑤弧ACOACB弧ADEFDBCOC2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系(选记)外离无交

4、点dRr；外切有一个交点dRr；相交有两个交点RrdRr；内切有一个交点dRr；内含无交点dRr；五、垂径定理2、圆周角定理的推论：D推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角B∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径B推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAO

5、B∴△ABC是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上B的中线等于斜边的一半的逆定理。ACOACAOCAO垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。A推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；O（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦E八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四

6、边形CBDCD所对的另一条弧B以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，∴CBAD180BD180DAECAE九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；O两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线MAN（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；

7、③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相B等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线PO∴PAPBPO平分BPAA十一、圆幂定理(选记)（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相D等。BO即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，P∴PAPBPCPDCA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所C成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，BOEA∴C

8、E2AEBED（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线A长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。DE即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线PO∴PA2PCPBCB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPEA十二、两圆公共弦定理(选记)O2O1圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。B如图：O1O2垂直平分AB。即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、两点∴O