矩阵及其运算习题课讲课资料.ppt

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1、第二章矩阵1.矩阵的定义由mn个数aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称mn矩阵.简记为:这mn个数aij称为矩阵A的元素.A=Amn=(aij)mn=(aij).元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.一、基本概念(5)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B.1.两个矩

2、阵的行,列数对应相等,称为同型矩阵.3.同型矩阵和相等矩阵4.矩阵的加法设有两个同型的mn矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即矩阵加法的运算规律(1)交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).矩阵A=(aij),称–A=(–aij)为矩阵A的负矩阵.A+(–A)=O,A–B=A+(–B).5.数与矩阵相乘数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.设A,B为同型的mn矩阵,,为数:(1)()A=(A).(2)

3、(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.数乘矩阵的运算规律矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中6.矩阵与矩阵相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.矩阵乘法的运算规律(1)结合律:(AB)C=A(BC);(2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;(4)AmnEn=EmAmn

4、=A;把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.7.转置矩阵(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质8.方阵的运算方阵的幂满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,定义为A1=A,Ak+1=AkA1,(k为正整数)由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作

5、A

6、或detA.方阵行列式的运算性质(1)

7、AT

8、=

9、A

10、;(2)

11、A

12、=n

13、A

14、;(3)

15、

16、AB

17、=

18、A

19、

20、B

21、=

22、B

23、

24、A

25、=

26、BA

27、.9.一些特殊的矩阵设A为n阶方阵:(1)如果AT=A,称A为对称矩阵;(2)如果AT=–A,称A为反对称矩阵;(3)如果AAT=ATA=E,称A为正交矩阵;(6)主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角矩阵;(7)行列式

28、A

29、的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.性质:AA*=A*A=

30、A

31、E.对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的(非奇异的,非退化的),并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.10.逆矩阵(2)矩

32、阵A可逆的充要条件是

33、A

34、0.(3)若A是可逆矩阵,则(4)若AB=E(或BA=E),则B=A-1.(1)若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.(5)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且(7)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(6)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.(8)若矩阵A可逆,则有

35、A-1

36、=

37、A

38、-1.逆矩阵的计算方法:(3)初等变换法(下一章介绍).(2)伴随矩阵法:(1)待定系数法;矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证.分块矩阵的运算规则与矩阵的运算规则相类似

39、．11.分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．分块矩阵一、填空题测试题答案