任意项级数审敛法ppt课件.ppt

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1、二、绝对收敛与条件收敛第五讲一、交错级数及其审敛法任意项级数的审敛法一、交错级数及其审敛法交错级数:定理(莱布尼茨审敛法)若交错级数满足:则收敛,且其和其余项满足1.定义称满足条件1),2)的级数为莱布尼茨交错级数单调增加且有上界1º先证部分和数列S2n单调增加且有上界.0un递减证证明思路：+故级数收敛于S,且仍为莱布尼茨交错级数2º再证又注1º莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：反例：>0事实上，<>收敛例1证明交错级数：收敛，并估计其余项rn解需证un递减趋于零2º注1º(第五节)绝对值级数问题:二、绝对收敛与条件收敛1.定义收敛；条件收敛,例如：绝对收敛：条件收敛:发散.

2、收敛，但绝对收敛,2.定理(绝对收敛与收敛的关系)证设收敛,收敛.收敛,定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.则由收敛级数的基本性质，注?由比较审敛法知均收敛解例2条件收敛、绝对收敛还是发散？例3解分析综合1º,2º可知：注1º用莱布尼茨判别法判断交错级数是否收敛时，要考察{un}是否单调减少，通常有以下三种方法：由un找一个可导函数f(x),2º关系?（一般地）√但特殊地，有定理设任意项级数则级数说明:（用比值法或根值法判）证例4解比值法判定分别为*3.绝对收敛级数性质*性质1(交换律)则逐项相乘并按任意顺序排列也绝对收敛,都绝对收敛,其和为绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和

3、.*性质2(分配律)其和得到的级数柯西乘积1.利用部分和极限:3.利用正项级数审敛法比值审敛法根值审敛法比较审敛法内容小结（任意项级数审敛法）2.利用收敛的必要条件:4.莱布尼茨判别法:由正项级数收敛,能否推出收敛?解1由比较法知收敛.注意反之不成立.例如,收敛,发散.思考题解2由比较法知收敛.发散;收敛;收敛.备用题例1-1判定下列的敛散性：问题上述级数的绝对值级数是否收敛?收敛收敛收敛解例2-1例2-2证明证(1)而收敛,收敛,因此绝对收敛.绝对收敛.因此收敛,绝对收敛.例2-3证明绝对收敛.证例3-1解例3-2则(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条

4、件不能确定.分析选(B)错;又C