有关圆系的几个问题

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1、有关圆系的几个问题江苏省丹阳高级中学杨松扣在平面曲线中，有关圆的问题频繁出现，而圆中很多问题都可以通过圆系来解决，下面就几种常见圆系的一些情况来讨论。一.同心圆系凡是有相同圆心(a，b)的一切圆均可以写成以下形式：其中(a，b)为定点(圆心)的坐标，r是圆的半径，可取任意正实数。二.等半径圆系凡圆心在曲线C：(t是参数)上，半径为定值r的一切圆均可以表示成以下形式：反过来，凡写成这种形式的方程均可代表圆心在曲线C上运动，半径为r的圆。三.由两圆确定的圆系定义：设有圆：(1)和圆：(2)则称到两圆的切线长相等的点的轨迹称为两圆的根轴。下面来讨论根轴的方程。设

2、，由切线长公式知：P到圆的切线长P到圆的切线长-8-则有：整理得：由P点的任意性可知根轴的方程为：(3)由于的圆心，的圆心，由两点式可得直线的方程，整理得：由，即根轴所在直线的方程(如果存在的话)必与两圆连心线(存在的话)垂直。为了讨论方便起见，我们把方程(1)和(2)分别简记为：：和：，下面专门讨论以下形式的曲线的方程：(4)　其中λ可取任意实数。易见，当时，即为根轴所在的直线的方程。除根轴以外，下面只讨论时的情形。(A)若：和：是同心圆①由于和是同心圆，则且，则(3)式不代表任何曲线，故两同心圆之间是不存在根轴的。②凡写成(4)的方程一定代表一个以和的

3、圆心为圆心的圆。-8-③凡是圆心与和相同的圆都可以写成(4)的形式，但：除外。(B)若：和：不是同心圆我们先证明这样的一个结论：()若代表一个圆，则圆心必在和的圆心和的连线上，并且分有向线段的定比为λ。证明：设有圆：(1)和圆：(2)则有，，若即为：圆心，由定比分点公式可知：分有向线段的定比即为λ，从而也说明了点在的连线上。a.若和是两相交的圆，设交点为和。①和的根轴是方程(3)除去圆内部分，即两圆公共弦所在的直线除去公共弦部分，因为圆内点不存在切线。②经过和两交点除以外的一切圆都可以写成(4)的形式。证明：不失一般性，设和都在x轴上，并且取的圆心为坐标原

4、点,可设：-8-：(1)和圆：(2)若圆经过两交点和，由和关于x轴对称，则圆心必在x轴上。再设：则有(5)(6)(7)(6)－(5)得(7)－(5)得则有因为(否则和重合)∴(8)又∵O'在上，并且O'分有向线段的比为λ，则∴代入(8)式可整理得（9）将(9)(10)代入圆的方程得：-8-∵∴∴证毕。③凡可以写成(4)式的方程一定是经过和的一个圆()证明：(4)式代表的曲线经过和较易证.下面着重证明它是一个圆。因为写成(4)式()的方程可以写成当时代表一个圆，时只代表一个点，时方程不能代表任何图形。由于只有这三种情况，而上面的方程又一定经过和两点。反过来，

5、这条曲线上至少有两个点，故也即方程代表了一个圆。b.若和是两相切的圆，设切交点为，①根轴即为两圆过P点的公切线。②与均切于P点除以外的一切圆都可以写成(4)的形式。③凡是可以写成(4)的形式的一切方程均代表一个与和同时相切于P点的一个圆。以上②和③的证明可仿照a中的证明。c.若和是两相离的圆-8-①根轴是一条与和均相离且与两圆连心线垂直的一条直线。②圆心在上与和都相离的圆不一定能写成这种形式。如：，：我们要求圆心在半径为r的圆的情况：设圆的方程为：，即若要圆心在，只要即，这时半径也就是说，当圆心在时，只有半径为的圆才能用(4)式给出，而以半径为1的圆也满足

6、与两圆相离，但不能写成这种形式，从而说明了以上结论的正确性。③凡是写成(4)形式的方程所代表的曲线可能是一个与圆和都相离的圆，也可能是一个点，也有可能图象不存在(实际上此时方程无意义)。如：，：若，即有可化成-8-由于∴的值可能是正值，可能是负值，也可能是零，也就是说所代表的曲线图象可能是一个圆，一个点和不存在图象。四.圆和直线构成的圆系设圆：(1)和直线：()所确定的曲线C的方程为：(9)则曲线C的一些性质可根据它们相交，相切和相离三种情况完全仿照两圆的相交，相切和相离三种情况分别得到。例：求圆关于直线对称的曲线的方程。解：由于圆关于直线对称的图象是一个

7、与原来的圆等半径的圆。可设所求圆的方程为：(10)即(11)∴又∵∴-8-解之得：，或由于时即为已知圆，而的圆心(2，4)不在：上，故所求的曲线C不可能是从而舍去，所以，代入原方程整理可得：即就是所要求的曲线的方程。这个例题是圆和直线相交的情况，如果圆和直线相切或相离同样可以使用此法。用此法还可求点关于直线的对称点。-8-