济南大学数学物理方法期末复习ppt课件.ppt

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1、第七章小结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题1)双曲型方程（HyperbolicEquation）：以波动方程为代表的方程它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、电磁波的传播规律．2)抛物型方程（ParabolicEquation）：以热传导方程（或输运方程）为代表的方程它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律.双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的,有时也称为发展方程.3）椭圆型方程（Ellipt

2、icEquation）：以泊松方程为代表的方程当，即退化为拉普拉斯方程.它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律的偏微分方程.在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律．初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u

3、t=0=f(x)表示；初始变化（速度），用ut

4、t=0=g(x)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu

5、t=0=a+(b-a)x/L初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u

6、t=0

7、=0两端固定，在c点拉开距离h：u

8、t=0=hx/c，0

9、t=0=h(L-x)/(L-c)，c

10、t=0=0在c点受冲量I：ut

11、t=0=Iδ(x-c)/m边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u

12、x=0=0受力端ux

13、x=0=F/k一维杆振动固定端u

14、x=0=0自由端ux

15、x=0=0受力端ux

16、x=0=F/YS一维热传导恒温端u

17、x=0=a绝热端ux

18、x=0=0吸热端ux

19、x=0=F/k达朗贝尔公式分离变量流程图第八章分离变数法典型问题的求解定解问题未知函数分离泛定方程分离边界条件分离分

20、离结果典型问题的求解空间方程解出非零解条件非零解时间方程解出分离结果的求解典型问题的求解初始条件要求分离结果的合成再合成半通解系数的确定过程小结分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数波动方程定解问题初始条件要求未知函数分离泛定方程分离边界条件分离本征运动半通解拉普拉斯方程矩形区域定解问题未知函数分离泛定方程分离X边界条件分离分离解半通解Y边界条件要求泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数k=1,2,3…k=0,1,2,3k=0,1,2,3k=0,1,2,3…基本思路：定解问题：§8、2非齐次振动方程和输送方程傅立叶级数法

21、（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：(2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式()冲量定理法定解问题该定解问题可以用分离变量方法求解。对定解问题可令u=uI+uII§8、3非齐次边界条件的处理一般处理方法定解问题;带入（2）中令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)则w(x,t)满足令v(x,y)满足非齐次边界条件中则可设形式为;v（x,t）=A(t)x+B(t)(4)小结:(1)边界条件化为齐次令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)（2）化成两个简单的定解问题可令w=wI+wII球坐标下拉普拉斯方程

22、欧拉方程连带勒让德方程球函数方程第九章二阶常微分方程级数解法轴对称情况勒让德方程波动方程亥姆霍兹方程输运方程球坐标下亥姆霍兹方程L阶球贝塞尔方程连带勒让德方程球函数方程轴对称拉普拉斯方程的求解§10.1轴对称球函数非对称稳定问题的求解解：这是侧面为齐次，上下低面为非齐次问题选柱面坐标，定解问题为：柱函数由上、下底面边界条件有带入①②中，可得解：定解问题是将边界条件齐次化，令U=u0+v化为：对于ν=0时而上下底面为齐次。则有C=0,D=0所以v=0的情况去掉。所以通解为：由边界条件确定系数解：定解问题为：齐次化边界条件：则有由于是球内问题，

23、则在求坐标系分离变量具有轴对称性m=0通解为：得：带入初始条件，确定系数：由广义傅立叶级数有;泊松方程解得基本积分展式第十二章格林函数法+相应的格林函数是下列问题的解：相应的格林函数是下列问题的解：相应的格林函数是下列问题的解：--§12、2用电像法求格林函数球内第一边值问题的格林函数圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足其解为在半空间z>0内