数学物理方法期末复习提纲.ppt

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1、试卷题型：一、填空题（每小题2分，共12分）二、单项选择题（每小题3分，共12分）三、名词解释（每小题4分，共8分）四、证明题（每小题8分，共32分）五、计算题（每小题12分，共36分）试卷类型：开卷教材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]内容第一篇复变函数论第二篇数学物理方程数学物理方法第一章复变函数1、复数的定义一、复数实部：虚部：模：辐角：主辐角：共轭复数:——三角式——指数式——代数式*复数三种表示式之间的转换2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法(2)、乘法和除法(2)、乘法和除法两复数相除就是把模数相除,辐角相减。两

2、复数相乘就是把模数相乘,辐角相加;(3)复数的乘方和开方或(n为正整数的情况)复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。棣莫弗公式：二、六种初等复变函数：1.幂函数2.指数函数周期为2i，3.三角函数周期为24、双曲函数5、根式函数周期为2i6、对数函数例1：已知，则。例2：复数ez的模为，辐角为.三、解析函数1、柯西-黎曼方程直角坐标系：极坐标系：2、解析函数性质：(1)、若是解析函数，则。(2)、若函数在区域B上解析，则u和v必为B上的相互共轭调和函数。3、构建解析函数：给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部，

3、通过C—R条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。①算偏导②u或v的全微分③求积分④表成例3：已知解析函数的实部，求虚部和这个解析函数。根据C-R条件，解：例4：已知解析函数f(z)的虚部，求实部和这个解析函数f(z)。解：提示：当给定的u或v中含有因子x2+y2，这种情况下采用极坐标处理比较方便，即令。将上面第二式对积分，视作参数，有其中为的任意函数。将上式两边对求导，第二章复变函数积分一、复变函数积分的性质：——P23二、计算复变函数回路积分1、单通区域柯西定理：P242、复通区域柯西定理：P253、重要公式应用（P28）4、柯

4、西公式高阶导数的柯西公式当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分，可利用柯西公式来计算,(1)把被积函数写成的形式，f(z)在积分区域上解析,为积分区域内一点；(2)利用柯西公式来计算积分.2yxo1例2．下列积分不为零的是()。C第三章幂级数展开一、收敛半径方法1：比值判别法方法2：根值判别法收敛圆：收敛域：例1求幂级数的收敛圆.解收敛圆:解:例2幂级数的收敛域。收敛域:二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、分解成最简

5、分式等方法去展开。间接展开法：常见函数的泰勒展开式:解：解：奇点名称可去奇点极点本性奇点不含负幂项含无限个负幂项含有限个负幂项的洛朗级数极限性质三、有限远孤立奇点分类及其类型判定极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点，m阶极点，本性奇点设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1，b2，…，bn外解析，在闭区域上除b1，b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分之值等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2i倍.左边的积分是沿l的正向进行的；注意:右边的奇点是指l所围区域内的，并非是f(z

6、)所有的奇点。第四章留数定理一、留数定理：——P52二、计算留数各孤立奇点留数的计算公式奇点类型可去奇点0m阶极点一阶极点普遍公式本性奇点极点阶数判定法一把极点阶数估计得过高n就是极点的阶数把极点阶数估计得过低(n>m)(n=m)(n

7、平面，且为f(z)的一阶极点，因此解：有两个二阶极点，其中在上半平面，——P61例7第五章傅里叶变换一、傅里叶级数1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开一般周期函数：(5.1.3)、(5.1.5)；——P88奇函数：(5.1.8)、(5.1.9)；——P90偶函数：(5.1.10)、(5.1.11)；——P90傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数傅里叶级数2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开对函数f(x)的边界（区间的端点x=0,x=l）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。(1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0——应延

8、拓成以2l为周期的奇函数(奇延拓)(2)、边界条件为——应延拓成以2l为周期的偶