数学物理方法复习ppt课件.ppt

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1、复变函数复数⑴定义：大小的不能比较大小⑵三种几何表示方法：点，向量，复球面⑶数学表示法①②③⑶复数的运算Z的n次方的计算复变函数3.复变函数一个复变函数是一个二元实变函数的有序组合可导的必要与充要条件必要条件：四个偏导数存在：满足C-R条件：充分必要条件：1.四个偏导数连续2.满足C-R条件解析函数的概念定义：解析的充要条件：该区域内可导的充要条件处处成立函数解析与可导、连续、极限的关系解析函数的性质1.C-R：2.判断一个函数是否解析Y(X,Y)0(X,0)XY(X,Y)0(X,0)X2.复变函数的积分①C分段光滑②在线

2、段C上连续定义式分解式2.复积分的基本性质1.2.3.复积分的基本性质4.5.复通区域的科西定理复积分的计算方法1.定义式2.分解式：3.极坐标法：积分曲线为圆周时4.科西定理：科西积分公式二.科西公式的推论高阶导数公式的说明1.2.3.围道积分计算总结科西定理：科西公式：科西导数公式综合式（复连通区域导数公式）如：例：计算　　　　　　其中　为以　为中心，为半径的正方向，为整数解：　的方程为所以：结论非常重要，必须记住：其特点是与积分路线的圆周中心及半径无关．例２：试沿区域　　　　　　　内的圆弧计算　　　　　　　的值例：计

3、算　　　　的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线．柯西定理的应用由的积分之值，证明:证明:因为被积函数的奇点在积分围道外，故在内解析，因而有:例：求下列积分（沿圆周正向）的值柯西公式应用应用举例例1问题：计算回路积分分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式柯西公式应用已知,求的值解：当

4、x

5、<3时，由Cauchy公式有：幂级数收敛半径例1.求解泰勒级数设f(z)在区域D解析，则在该区域内任意一点z=b的领域含于D内，f(z)可以展开为唯一的幂级数：b基本函数的泰勒展开例1.例2.例3.泰勒级

6、数罗朗级数上一致收敛罗朗级数C展开方法例4（1）以Z=0为中心进行罗朗展开（2）在环域∣Z-1∣＞1中展开例5解析函数的孤立奇点1.孤立奇点概念孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类例2孤立奇点的分类留数定理在D内将孤立奇点分别用互不包含且互不相交的围线Ck围绕起来，而围线L包围了所有的奇点，应用复连通区域的科西积分定理得：→→留数定理无限远点的留数留数定理留数的计算方法留数的计算方法留数的计算实例例2.留数的计算实例留数的计算实例例3.留数的计算实例①利用留数计算围道积分例42.用留数定理

7、计算实积分例4类型二：★★：此处Zk为上半平面奇点，不包括下半平面奇点例5傅里叶变换12：数学模型的建立和边界条件定解条件定解条件例2.规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值定解条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值例3.物体冷却时放出的热量-与物体和外界的温度差（u-u0）成正比，其中u0为周围介质的温度。定解条件行波法行波法解题思想：（也叫通解法，并不仅仅局限于求解波动方程）先求出通解代入定解条件求出定解不同边界条件下的本征值问题形式2解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件

8、的解。令带入方程：令带入边界条件1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数特征值问题特征值与特征函数步骤2，叠加原理做出解的线性组合。步骤3，其余的定解条件求出系数。▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。不同边界条件下的本征值问题形式3形式4作业：分别求出本征值和本征函数=？实根特征根通解求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解

9、。二阶常系数齐次线性微分方程特征根通解求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。二阶常系数齐次线性微分方程球函数10.1.1勒让德方程勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程（10.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程（10.１.2）(10.1.2)式的解与半径无关，故称为球谐函数，或简称为球函数．球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于的常微分方程（10.1.3）称为阶连带勒让德方程.令和把自变数从换为

10、，则方程（19.1.3）可以化为下列阶连带勒让德方程形式的（10.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则，即有（10.1.5）称为阶勒让德（legendre）方程．同样若记，，则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程(10.1.6)10．1．2勒让德多项式的表示1.勒让德多项式