学士论文广义逆矩阵的求法探讨

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时间:2017-12-26

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1、广义逆矩阵的求法探讨theseekingofthedharmaandresearchintogeneralizedinversematrix专业:数学与应用数学作  者:指导老师:学校二○一摘要本文介绍了广义逆矩阵的定义,讨论了由Moore-Penrose方程所定义的各种广义逆的性质,在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上,研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.关键词:广义逆矩阵;满秩分解;消元;初等变换法IIAbstractThisarticlediscussesthesystemofgeneralizedInversematricesdefine

2、d,discussedbytheMoore-PenroseequationisdefinedbythenatureofthevariousGeneralizedinverse,generalizedinversematrixelementarytransformationandfullrankdecomposition,studiedseveralparticulargeneralizedinversematrixcalculatio.Keywords:Generalizedinversematrix;fullrankdecomposition;elimi

3、nation;elementarytransformationII目录摘要IAbstractII0引言11广义逆矩阵的概念与定理82广义逆矩阵的计算方法82.1广义逆矩阵的奇异值分解法82.2广义逆矩阵的最大值秩分解法92.2极限法求广义逆矩阵92.3广义逆矩阵的满秩分解法112.4初等变换法求广义逆矩阵15参考文献210引言矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义.但是,在实际问题中,我们碰到的矩阵并不都是方阵,即使是方阵,也不都是非奇异的。因此,有必要推广逆矩阵的概念.为此,本文给出了广义逆矩阵的定义,并利用广义逆的性质,给出其计算方法。1广义逆矩阵的概念与

4、定理 定义1.1设是的矩阵,若的矩阵满足如下四个方程的全部或者一部分,则称为的广义逆矩阵,简称广义逆.(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)则称是的逆,记为.如果某个只满足(1.1)式,为的{1}广义逆,记为G{1};如果另一个满足(1.1),(1.2)式,则称为的{1,2}广义逆,记为{1,2};如果{1,2,3,4},则是逆等.下面介绍常用的5种{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3,4}每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵,分述如下:(1){1}中任意一个确定的广义逆,称作减号广义逆,或g逆,记为;(2){1,2}中任意一个确定的广

5、义逆,称作自反减号逆,记为;(3){1,3}中任意一个确定的广义逆,称作最小范数广义逆,记为;(4){1,4}中任意一个确定的广义逆,称作最小二乘广义逆,记为;(5){1,2,3,4}:唯一一个,称作加号逆,或,记为.定义1.2设是的矩阵(,当时,可以讨论),若有一个第21页,共21页的矩阵(记为)存在,使下式成立,则称为的减号广义逆或者逆:(1.5)当存在时,显然满足上式,可见减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广;另外,由得可见,当为的一个减号广义逆时,就是的一个减号广义逆.定义1.3设的特征值为则称为矩阵的正奇异值,简称奇异值.定义1.4设矩阵,如果时存在

6、;或者当时,存在有,称这两种长方阵为最大秩方阵(满秩方阵),前者又称行最大秩矩阵(行满秩矩阵),后者又称为列最大秩矩阵(列满秩矩阵).定义1.5设是矩阵,若有矩阵满足(或),则称为的右逆(或左逆),记为(或).定理1.1设是的矩阵,则的逆存在且唯一.证明先证的存在性.设的奇异值分解其中,是的非零奇异值,与是酉矩阵.令第21页,共21页容易验证满足四个方程,因此存在.下面证的唯一性.假定也是满足4个方程,则因此,说明是唯一的,且若是非奇异矩阵,容易验证满足4个方程,此时.由此可见逆把逆推广到所有矩阵(甚至零矩阵).定理1.2设,,存在阶的可逆矩阵及阶可逆矩阵

7、,使则阶矩阵使得的充分必要条件是其中分别是阶任意矩阵.证明先证必要性,由条件有阶及阶可逆矩阵,使那么根据应满足的,有第21页,共21页再令分块如题设要求,代入上式所以,于是有得到再证充分性,由于则引理1.1对于任意的矩阵,它的减号逆总存在,但不唯一,并且是的一个减号逆【1,2】.引理1.2对于任意的矩阵,它的极小范数总存在,但不唯一,并且第21页,共21页是的一个极小范数逆【1‘2】.引理1.3对于任意矩阵,它的最小二乘逆总存在,但不唯一,并且它是的一个最小二乘逆【1,2】.引理1.4对于任意矩阵,它的加号逆总存在,并且唯一.其中这里是的满秩分解式【1,2

8、,3】.定理1.3是矩阵,若是行满秩矩阵,则总有;是列满秩矩阵,则

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