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1、广义逆矩阵的求法探讨theseekingofthedharmaandresearchintogeneralizedinversematrix专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○一摘要本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由Moore-Penrose方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.关键词:广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法IIAbstractThisarticlediscussesthesystemofgeneralizedInv
2、ersematricesdefined,discussedbytheMoore-PenroseequationisdefinedbythenatureofthevariousGeneralizedinverse,generalizedinversematrixelementarytransformationandfullrankdecomposition,studiedseveralparticulargeneralizedinversematrixcalculatio.Keywords:Generalizedinver
3、sematrix;fullrankdecomposition;elimination;elementarytransformationII目录摘要IAbstractII0引言11广义逆矩阵的概念与定理82广义逆矩阵的计算方法82.1广义逆矩阵的奇异值分解法82.2广义逆矩阵的最大值秩分解法92.2极限法求广义逆矩阵92.3广义逆矩阵的满秩分解法112.4初等变换法求广义逆矩阵15参考文献210引言矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义.但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。因此，有必要
4、推广逆矩阵的概念.为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。1广义逆矩阵的概念与定理 定义1.1设是的矩阵，若的矩阵满足如下四个方程的全部或者一部分，则称为的广义逆矩阵，简称广义逆.(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)则称是的逆，记为.如果某个只满足（1.1）式，为的{1}广义逆，记为G{1}；如果另一个满足（1.1），（1.2）式，则称为的{1,2}广义逆，记为{1，2}；如果{1，2，3，4}，则是逆等.下面介绍常用的5种{1},{1,2}，{1,3},{1,4},{1,2,3,4}每
5、一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下：（1）{1}中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或g逆，记为；（2）{1,2}中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为；（3）{1,3}中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为；（4）{1,4}中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为；（5）{1,2,3,4}：唯一一个，称作加号逆，或，记为.定义1.2设是的矩阵（,当时，可以讨论），若有一个第21页,共21页的矩阵（记为）存在，使下式成立，则称为的减号广义逆或者逆：(1.5)当存在时，显然满足上式，可见
6、减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广；另外，由得可见，当为的一个减号广义逆时，就是的一个减号广义逆.定义1.3设的特征值为则称为矩阵的正奇异值，简称奇异值.定义1.4设矩阵，如果时存在；或者当时，存在有，称这两种长方阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）.定义1.5设是矩阵,若有矩阵满足(或),则称为的右逆(或左逆),记为(或).定理1.1设是的矩阵，则的逆存在且唯一.证明先证的存在性.设的奇异值分解其中，是的非零奇异值，与是酉矩阵.令第21页,共21页容易验证满
7、足四个方程，因此存在.下面证的唯一性.假定也是满足4个方程，则因此,说明是唯一的，且若是非奇异矩阵，容易验证满足4个方程，此时.由此可见逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）.定理1.2设，，存在阶的可逆矩阵及阶可逆矩阵，使则阶矩阵使得的充分必要条件是其中分别是阶任意矩阵.证明先证必要性，由条件有阶及阶可逆矩阵，使那么根据应满足的,有第21页,共21页再令分块如题设要求，代入上式所以,于是有得到再证充分性，由于则引理1.1对于任意的矩阵，它的减号逆总存在，但不唯一，并且是的一个减号逆【1，2】.引理1.2对于任意的矩阵，它的
8、极小范数总存在，但不唯一，并且第21页,共21页是的一个极小范数逆【1‘2】.引理1.3对于任意矩阵,它的最小二乘逆总存在,但不唯一,并且它是的一个最小二乘逆【1，2】.引理1.4对于任意矩阵,它的加号逆总存在，并且唯一.其中这里是的满秩分解式【1，2，3】.定理1.3是矩阵,若是行满秩矩阵,则总有；是列满秩矩阵，则
