求函数值域的几种常见方法.doc

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1、求函数值域的几种常见方法河北涿州中学高二数学组------李瑞英初等函数的值域是由函数的定义域和对应法则两个因素确定的，常常一个问题要覆盖多个知识点，涉及多种数学方法，渗透多种数学思想，因此它是高中阶段的一个难点。现对高中阶段常用的方法总结如下：方法一：配方法一般适用于二次函数类型的函数例1.求函数的值域解析：方法二：换元法：适用于含根式、分式、三角函数类型的函数，且在还原过程中需注意还原后t的取值范围例2．求函数的值域解析：令则即方法三：分离常数法：适用于分式类型的函数，且在解题过程中注意变量的范围例3．求函数的

2、值域解析：由题意可知函数的定义域为方法四：单调性法：主要适用于能够判断单调性的复合函数、和函数。例4．（1）求函数的值域（2）求函数的值域解析：（1）令则而是减函数（2）由题意可知函数的定义域为在定义域内都是单调增函数在定义域内也是单调增函数方法五;反解法（利用反函数的原理）例5．求函数的值域解析：由题意可知函数的定义域为R而函数可化为即方法六：不等式法：柯西不等式、基本不等式、绝对值不等式，在适用中注意适用范围例6.(1)求函数（x>1）的值域(2)求函数的值域（3）求函数的值域解析：（1）令则t>0当且仅当即t

3、=1时等号成立(2)由函数知其定义域为[1，5]，且y>0（3）方法七：判别式法：一般转化为含参数y的一元二次函数，注意二次项的系数例七．求函数的值域解析：由函数可知定义域为R函数可化为（*）有解当y-1=0即y=1时，（*）式可化为-x=0即x=0,满足题意当时解得综上：函数的值域为方法八：平方法：注意定义域例8．求函数的值域解析：由题意可知函数的定义域为[-1，2]函数可化为方法九：导数法：适用于次数比较高的整式函数例9．求函数的值域解析：令=0得列表1(1,2)2（2，4）4（4,5)5+0—0+18极大22

4、极小值1822由表可知函数的值域为[18,22]方法十：构造法：构造距离、构造斜率，需数形结合求得例10．求函数的值域解析：作B(0,2)关于x轴的对称点D(0,-2)则线段CD的长度就是y的最小值且所以函数的值域为练习：1、求函数的值域2、求函数的值域3、求函数的值域4、求函数的值域5、求函数的值域6、求函数的值域7、求函数的值域8、求函数的值域9、求函数的值域10．求函数的值域11．求函数的值域总结：求初等函数的值域问题是一个综合性的问题，要想用单一的方法求函数的值域是不可能，但也不是杂乱无章的，只要我们灵活的

5、掌握数学基础知识、思想和方法，并根据所给解析式的特征，结合定义域灵活的选择方法，并力求一题多解方可达到举一反三的效果。