胡不归数学模型.docx

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1、“胡不归”问题数学模型话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭。邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归……胡不归……”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题。如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不

2、同路面速度不同（驿道速度为米/秒，砂土速度为米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B。看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，少年想要尽快回家，应沿着

3、驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面。解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.例：(2019年长沙T12)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点。求CD＋BD的最小值。练习题1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，P是边AC上的一个动点，则PA+PB的最小值是。2.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD

4、（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值是。变式思考：（1）本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？（2）本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过A(-1,0)，B(0,)，C(2,0)，其对称轴与x轴交于点D。(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；(2)若P是y轴上的一个动点，连接PD，求的最小值。