第3讲-计算机图形学基础-图形变换ppt课件.pptx

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1、3.1．二维图形变换3.1.1二维图形基本变换3.1.2图形齐次变换3.1.3二维图形变换汇总3.2．三维图形变换3.2.1三维图形基本变换3.2.2三维图形组合变换3.3．坐标变换3.4、三维投影变换3.5、图形显示流程（选学）3.5.1二维观察变换及图形显示流程3.5.2三维观察变换及图形显示流程第3讲计算机图形学基础——图形变换1．掌握CAD系统中图形变换的原理2．了解CAD系统中图形的显示流程本章目的思考问题：1）在CAD软件中图形的平移、旋转是如何实现的??2）如何实现零件形体从数学定

2、义到屏幕显示？？3.1二维图形变换在工程绘图CAD系统中，二维图形变换是最常用的功能。二维图形变换可通过矩阵乘法运算来实现，令矩阵：则有：这里[x’,y’]为变换后点的坐标，[x,y]为变换前点的坐标，T为变换矩阵，矩阵中a,b,c,d取值不同，可实现各种不同变换。二维图形的基本几何变换包括：比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换等二维比例变换在变换矩阵中，令b=c=0，则比例变换为：式中a，d分别为x，y方向上的比例因子二维对称变换1）对y轴对称:2）对X轴对称:3）对坐标原点对称:

3、3.1.1二维图形基本变换由式可知：二维旋转变换在二维空间里，我们规定：图形的旋转是指绕坐标系原点旋转θ角，且逆时针为正，顺时针为负，变换矩阵为：对右图字母T绕坐标原点进行旋转变换（旋转60°)，则变换后的坐标为：旋转变换举例二维平移变换但是，若实现平移变换，变换前后的坐标必须满足下面的关系：上述四种变换都可以通过2X2变换矩阵来实现，式中△x，△y是平移量，为常数，应用前述变换矩阵对点进行变换：上式中的cy，bx均非常量，因此用原来的2×2矩阵无法实现平移变换。解决方法：将变换矩阵增加一行一列

4、，则可对点进行平移变换思考：前面的变换能实现图形的平移吗??平移变换将[xy]扩充为[xy1]实际上是由二维向量变为三维向量。这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。所谓齐次坐标就是用n+1维向量表示n维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵。齐次变换定义将Oxy坐标系增加w轴。在w=1的平面上有点P1(x,y,1),当w由0变化到无穷时，齐次坐标Pw(xw,yw,w)将处在由OP1

5、定义的射线OQ上。二维坐标则是该射线在w＝1平面上的交点：齐次变换几何意义二维齐次变换表示在w=1平面上点的变换，即P1到P1*的坐标变换。3.1.2二维图形齐次变换二维齐次变换:二维齐次变换矩阵为：其中2×2阶矩阵可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换；1×2阶矩阵可以实现图形的平移变换；2×1阶矩阵可以实现图形的透视变换，而[s]可以实现图形的全比例变换。二维点的齐次变换：3.1.3二维图形变换汇总表△△平移变换实例:二维组合变换：前面介绍的几种变换可用统一的变换矩阵来实现，称之基本

6、变换。但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由多次基本变换组合才能实现，称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为：P*=PT1T2…Tn=PT式中，T=T1T2…Tn为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。绕任意点旋转变换:平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角需要通过组合变换实现，步骤如下：(1)将旋转中心平移到原点;(2)将图形绕坐标系原点旋转θ角;(3)将旋转中心平移回到原来位置。组合变换矩阵的顺

7、序不能颠倒，顺序不同，则变换的结果亦不同，如右图。组合变换矩阵：于是：P′=PTcr3.2三维图形变换三维几何形体可由一系列点集和这些点集之间的边连接关系来表达。当一个形体在坐标系中平移、旋转时，只是通过三维图形变换改变点集的坐标位置，而不改变各点边之间的任何连接关系。（注：CAD系统中，三维形体中边、面的方程都是由点集信息推导出来，不直接对边、面的方程进行变换，而是由变换后的新点生成）三维几何变换是二维几何变换的扩展，用三维齐次变换矩阵(4×4矩阵)表示，可表示包括平移变换、比例变换、错切变换

8、、对称变换、绕坐标轴的旋转变换、绕空间任意轴的旋转变换等。三维齐次变换矩阵如下：T＝缩放、旋转、错切平移整体缩放透视变换比例、对称变换矩阵三维齐次变换矩阵：sx,sy,sz＞0，沿坐标轴方向作放缩变换；当sx=1,sy=sz=-1时，相对于x轴中心对称；当sx＝-1,sy=sz=1时，相对于yOz平面对称当sx=sy=sz=-1时，相对于原点中心对称。平移变换矩阵式中tx、ty、tz为平移分量3.2.1三维图形基本变换绕坐标轴的旋转变换：注：上述三矩阵均为正交矩阵。正交矩阵有如下性质：M-1=M