第3章概念1算符对易关系不确定关系课件.ppt

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1、第三章量子力学中的力学量一、算符的本征值1.能量算符本征值方程2.动量算符本征值方程本征值（连续取值）3.坐标算符本征值方程本征值（连续取值）4.任意力学量算符本征值方程本征值本征函数本征值就是力学量算符的可能取值，测量时只能测得这些值。算符的平方的本征值就是。这是因为当取整数时对，有当中有0时，不存在；对，有当所有，才有意义。二、角动量算符1.角动量算符易得如果粒子围绕轴旋转，只有改变，则所以可以推出2.动能算符下面利用角动量算符来讨论动能算符。经典物理：径向动能横向动能如果系统角动量守恒，是恒量，则横向动能仅为r的函数，与势能

2、相似，故称为离心势能。量子力学中，动能算符径向动能算符横向动能算符其中径向动量算符这是因为几个重要算符在球坐标系中的表示球坐标系和直角坐标系单位矢量之间的关系3.的本征解由周期性条件本征值归一化三、厄米算符1.算符的共轭数：矩阵：（即转置后取复共轭）算符：对任意的波函数和，的共轭满足如（复数），则所以再如则所以由此例可得性质：推广例如2.厄米算符（自共轭算符）或一般力学量算符都是厄米算符。性质1：厄米算符的本征值为实数。设，则又所以性质2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数正交。所以又四、波函数的普遍解释（展开假定）若且如果且已归

3、一化，则如果则；如果则的概率为。狄拉克指出：力学量算符的本征函数必须是完备的。波函数的普遍解释（展开假定）：量子体系的任何可观测的物理量都能够用一个线性厄米算符来表示；每一个这样的算符都存在着正交归一完备的本征函数系，本征值就是在相应本征态上该力学量的测量值，所有本征值的集合称为本征值谱。任何一个物理上允许的波函数都可以向该本征函数系展开；若是归一化的波函数，则展开系数的模方就是该力学量取值的概率。五、平均值公式在态下，力学量的平均值为或者且六、对易关系对易式运算法则1.坐标和动量2.角动量和坐标即或3.角动量和动量即或4.角动量

4、各分量或（角动量的广义定义）5.角动量平方与角动量各分量6.升降算符定义：7.其它对易关系（1）（2）（3）用此法可解上面（2）。（4）（与（2）方法相似）（5）（因为）七、共同本征函数系两个对易的算符存在共同完备本征函数系。一方面若则对任意波函数，有所以另一方面若则且所以，也是的本征值为的本征态。如果不简并，则与仅相差一常数因子，即例如它们具有共同本征函数注意：如果两个力学量不对易，不一定同时没有准确测量值。例如和不对易，但是在态它们同时具有准确值0。八、不确定关系如果力学量、满足，则对任意的归一化波函数，有其中证明：引入实参数

5、，并令又因此所以，必有因为所以