算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系课件.ppt

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1、3.7算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一.量子力学的算符基本对易关系记，如两算符,满足.称对易常用的对易关系式1.坐标算符之间的对易关系结论：坐标分量算符之间是对易的——2.动量各分量之间的对易关系同理：结论：动量各分量之间是对易的——3.坐标与动量算符的对易关系①动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系设——任意态函数为任意波函数,所以同理结论：动量分量和它所对应的坐标是不对易的——②动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系所以同理：结论：动量分量和它不对应的坐标是对易的——力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其它力学量之间的对易关系4.

2、与角动量算符有关的对易关系式（1）坐标与角动量算符的对易式①角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系（）（）同理：结论：角动量分量和它所对应的坐标是对易的②角动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系（）同理(1)结论：角动量分量和它不对应的坐标是不对易的——同理:（2）角动量分量之间的对易式（）即同理：结论：角动量分量之间的不对易上三式可合写为该式可看成是角动量算符的定义，它比以前的定义具有更广泛的意义，原来只是轨道角动量，而该式包含有自旋角动量。（3）有心力场中、、的对易关系而、均与r无关，所以上式第一项和第三项作用在、上就和作用在常数上一样，而第二项中的分别与、对易，因此与、

3、分别对易综上所述，算符之间或对易、或不对易。那么什么条件下两者对易呢？对易与否具有什么意义呢？二.两个算符具有共同本征态的条件1．定理:两个具有共同的完备本征函数组的算符必定对易[证]所以2．逆定理:如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。（证略）3．上述定理可推广到两个以上情况。它们的共同本征函数完全集是相互对易，它们有共同本征函数要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如h在所讨论问题中可略去，则坐标

4、，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。下面讨论不对易情况三、不确定关系1.统计偏差的定义——标准差如果力学量，其相应的算符为，统计平均值为在任意态观察值对统计平均值的统计偏差（标准差）定义为令——方均根值其中，例如：值越大表明偏差越大讨论：（1）．若处于本征态，则测量值等于本征值，等于平均值，因此即本征态是统计偏差等于零，既无涨落的状态（2）.如果两力学量，其相应的算符为，且，统计平均值为即可同时确定。由于具有共同的本征函数组，因此在本征态时，，，即（下限）。（3）.如果，则可能——等于如果越小（不确定程度低，离散性小），则越大（确定程度高

5、，离散性大），即不可同时确定。2.不确定关系的严格证明在量子力学中力学量的不确定关系？证明：第1步：设两任意厄米算符的对易关系为————为实数或厄米算符构造态函数对任意态函数，再构造出一个新的任意态函数（其中是实参数），第2步——计算态函数内积（被积函数不小于零）展开为:（其中用到了厄米算符定义）其中，由平均值定义得第1项第4项第2项（利用）第2项+第3项等于所以：——关于的二次三项式第3步——讨论的条件因此（）上式大于零的条件是：（）即得：（1）第4步——进一步证明也是厄米算符，可证有由于为厄米算符，而又是实数，因此因此将替换（1）式中的得不等式成立的条件是：（2）又已知所以

6、：这就是常见的不确定关系的一般表达式。例1：坐标和动量的不确定关系取对比对易关系得由公式，这正是大家所熟悉的不确定关系。具体的需要具体来求。例2：一维谐振子的不确定关系【解】振子的平均能量是，（见4.22式），（见4.32式）又：（见4.23式），（见4.33式）因此，不确定关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。