必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案.docx

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1、..平面向量知识点整理1、概念向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量:abbaab0向量表示:几何表示法AB;字母a表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y).向量的模:设OAa,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作:

2、a

3、.(

4、a

5、2x2y2。)x2y2,a

6、a

7、2零向量:长度为0的向量。

8、a=O|a|=O.【例题】1.下列命题:(1)若ab,则ab。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若ABDC,则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC。(5)若ab,bc,则ac。(6)若a//b,b//c,则a//c。其中正确的是_______2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么

9、a3b

10、=_____2、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相接连端点.⑵平行四边形法则的特点:起点相同连对角.⑶三角形不等式:ababab.⑷运算性质:①交

11、换律:abba;②结合律:abcabc;;...③a00aa.C⑸坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.a3、向量减法运算:b⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2abCC.设、两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则x1x2,y1y2.【例题】(1)①ABBCCD___;②ABADDC____;③(ABCD)(ACBD)_____(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa,BCb,ACc,则

12、

13、abc

14、=_____4、向量数乘运算:⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.①aa;②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0.⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.⑶坐标运算:设ax,y,则ax,yx,y.【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且MP1MN,则点P的坐标为_______35、向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.设ax1,y1,bx2,y2,(b0)(ab)2(

15、a

16、

17、b

18、)2。【例题】(

19、1)若向量a(x,1),b(4,x),当x=_____时a与b共线且方向相同(2)已知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且u//v,则x=______6、向量垂直:abab0

20、ab

21、

22、ab

23、x1x2y1y20.;...【例题】(1)已知OA(1,2),OB(3,m),若OAOB,则m(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B90,则点B的坐标是______(3)已知n(a,b),向量nm,且nm,则m的坐标是________7、平面向量的数量积:⑴ababcosa0,

24、b0,0180.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质:设a和b都是非零向量,则①abab0.②当a与b同向时,abab;当a与b反向时,abab;aaa22或aaa.③abab.a⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.⑷坐标运算:设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2.若a2x2y2,或ax2y2.x,y,则a设ax,y,bx,y,则⊥·=12+12=0.1122abab0xxyy则a∥ba=λb(b≠0)x1y2=x2y1.设a、b都是非零向量,ax1,y1

25、,bx2,y2,是a与b的夹角,则cosabx1x2y1y2abx12y12x22y22;(注

26、ab

27、

28、a

29、

30、b

31、)【例题】(1)△ABC中,

32、AB

33、3,

34、AC

35、4,

36、BC

37、5,则ABBC_________(2)已知a1),b1akb,dab,c与d的夹角为,则k等于____(1,(0,),c224(3)已知a2,b5,ab3,则ab等于____(4)已知a,b是两个非零向量,且abab,则a与ab的夹角为____(5)已知a(,2),b(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是______(6

38、)已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0)。(1)若x=,3求向量a、c的夹角;8、b在a上的投影:即

39、b

40、cos,它是一个实数,但不一定大于0。;...【例题】已知

41、a

42、3,

43、b

44、5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为_____9、(必修五的内容)正弦定理(其中R表示三角形的外接圆半径):(1)abc2RsinAsinBsinC(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3)si

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