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《高三数学教案：向量及向量的基本运算.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、向量及向量的基本运算【知点精】1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c⋯⋯来表示，或用有向段的起点与点的大写字母表示，如：AB。向量的大小即向量的模（度），作
2、AB
3、。②零向量：度0的向量，0，其方向是任意的，0与任意向量平行。<注意与0的区>③位向量：模1个位度的向量。④平行向量（共向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一平行向量都可以移到同一直上。⑤相等向量：度相等且方向相同的向量。相等向量平移后可以重合，ab。2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。ABa,BCb，a+
4、b=ABBC=AC。向量加法有“三角形法”与“平行四形法”。明：（1）0aa0a；（2）向量加法足交律与合律；3)向量的减法①相反向量：与a度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互相反向量，a=b,b=a,a+b=0。②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，作：aba(b)。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。ab的作法：ab可以表示从b的点指向a的点的向量（a、b有共同起点
5、）。注：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向段就表示些向量的和；差向量是从减向量的点指向被减向量的点。4)数与向量的①数λ与向量a的是一个向量，作λa，它的度与方向定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0，λa的方向与a的方向相同；当0，λa的方向与a的方向相反；当0，a0，方向是任意的。②数乘向量足交律、合律与分配律。5)两个向量共定理向量b
6、与非零向量a共有且只有一个数，使得b=a。6)平面向量的基本定理第1页共3页如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具
7、体位置无关，只与其相对位置有关。【例题选讲】例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若ab,则ab(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ab，bc，则ac；(7)若a//b，b//c，则a//c(8)若四边形ABCD是平行四边形,则ABCD,BCDA(9)已知A（3，7），B（5，2），将AB按向量a=（1，2）平移后得到的向量AB的坐标为（3，－3）(10）ab的充要条件是
8、a
9、
10、b
11、且a//b；解：(1)不正确，零向量方向任意,(2)不正确，说
12、明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若b0，则不共线的向量a,c也有a//0，0//c。(8)不正确,如图ABCD,BCDAxx1（9）不正确，∵a=（1，2），∴平移公式是y，将A（3，7），B（5，2）y2分别代入可求得A(4,9),B(6,4)，故AB=（6,4）－（4,9）=（2,－5）。（10）不正确，当a//b，且方向相反时，即使
13、a
14、
15、b
16、，也不能得到ab；[点评]正确理解向量的
17、有关概念例2:已知G是△ABC的重心，求证：GAGBGC0证明：以向量GB,GC为邻边作平行四边形GBEC，则GBGCGE2GD，又由G为△ABC的重心知AG2GD，从而GA2GD，∴GAGBGC2GD2GD0。说明：此题也可以用向量的坐标运算进行证明。练习：如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设OAa,OBb,试用a,b表示OM,ON,MN第2页共3页解：BM1BC1BA,BM1BA1OAOB1ab36666OMOBBM1
18、a5b.CN1CD,ON4CD2OD66333ON2OD2OAOB2abMNONOM1a1b33326[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示例3（同课本）：设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP＝OA＋OB且1,、R。解题过程请参考课本。变一：设OA、OB不共线，OP＝OA＋OB且1,、R，求证：A、B、P三点共线。说明：当1时，OP＝1(OA＋OB)，此时
