高二数学导数知识点总结及习题练习.docx

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1、'.高三专题复习——导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率等于f(x0)，切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)(2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值，则f(x0)0。反之，不成立。(3)对于可导函数f(x)，不等式f(x)0（0）的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。(4)函数(5)函数f(x)f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：xIf(x)0(0)恒成立在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f(x)0在区间I上有实根且为非二重根。（若f(x)为二次函数

2、且I=R，则有0）。(6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)0或f(x)0在I上恒成立(7)若xI，f(x)0恒成立，则f(x)min0;若xI，f(x)0恒成立，则f(x)max0(8)若x0I，使得f(x0)0，则f(x)max0；若x0I，使得f(x0)0，则f(x)min0.(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若xDf(x)g(x)恒成立则有f(x)g(x)min0(10)若对x1I1、x2I2，f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)ming(x)max.若对1I1，x2I2，使得f(x)g

3、(x),则f(x)ming(x)min.x12若对x1I1，x2I2，使得f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x)max.（11）已知f(x)在区间I1上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B，若对x1I1,x2I2，使得f(x1)=g(x2)成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①lnxx1(x0)②ln（x+1）x(x1)③ex1x④ex1x⑤lnxx11)⑥lnx11(x0)x1(xx222x22考点一：导数几何意义：角

4、度一求切线方程π1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′4，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0;.'.解析：选A由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′ππ4＝3－2sin2π32322＋2cos2＝1.由y＝x得y′＝3x，过曲线y＝x上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a＝3×1＝3

5、.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二求切点坐标0处的切线方程为4x－y－1＝0，则2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P点P0的坐标是()A．(0,1)B．(1，－1)C．(1,3)3D．(1,0)解析：选C＝，此时×－－＝，解得＝，∴点0由题意知y′＝＋＝，解得xx14141y10y3P的坐标是(1,3)．角度三求参数的值12＋mx＋7．已知，直线与函数，的图像都相切，且与3f(x)＝lnx，g(x)＝2x2(m<0)

6、lf(x)g(x)f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于()A．－1B．－3C．－4∵f′(x)＝1，∴直线D．－2解析：选Dl的斜率为k＝′＝，又f(1)＝，∴切线l的方程为y＝xxf(1)10－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，127则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝2x0＋mx0＋2，m<0，于是解得m＝－2，故选D.考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。2x[典例1]已知函数f(x)＝x－e试判断f(x)的单调性并给予证明．2x解：f(x)＝x－e，f(x)在R上单调递减，f′(x)＝

7、2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可．设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0.∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2<0，∴f′(x)<0恒成立，∴f(x)在R上单调递减．[典例2](2012·北京高考改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；2(2)当a＝4b时，

8、求函数f(x)＋g(x)的单调区间．f1＝a＋1＝c，由已知可得g1＝1＋b＝c，解得a＝b＝3.2a＝3＋b，2232a