双线性函数ppt课件.ppt

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1、一、双线性函数二、度量矩阵§10.3双线性函数三、非退化双线性函数四、对称双线性函数一、双线性函数设是数域上的维线性空间，映射1、定义为上的二元函数.即对根据唯一地对应于中一个数如果具有性质:其中则称为上的一个双线性函数.对于线性空间V上的一个双线性函数当固定一个向量(或)不变时，可以得出一个双线性函数.注：例1.线性空间上的内积即为一个双线性函数.2、例题讲析例2.上两个线性函数定义证明:f是V上的一个双线性函数.证：例3.设是数域上的维线性空间，令则为上的一个双线性函数.若则①②事实上，①或②是数域上任

2、意上的维线性空间上双线性函数的一般形式.设为数域上线性空间V的一组基，设则令则其中设是数域上任意上的n维线性空间V上一个双线性函数，为V的一组基，则矩阵称为在下的度量矩阵.二、度量矩阵1、定义命题1在给定基下,上全体双线性函数与上全体级矩阵之间存在1─1对应.证：取定的一组基双线性函数令则与对应.即与在下的度量矩阵对应.2、性质且不同双线性函数对应的在下的度量矩阵不同.事实上，若在下的度量矩阵分别为且　时即则对任意有矛盾.反之，任取对V中任意向量定义函数则f为V上的一个双线性函数.在下的度量矩阵即为命题1′

3、线性空间V上双线性函数空间与同构.证：取定V的一组基作映射则为到的1─1对应.事实上，任取则为满射.是V上的一个双线性函数.若双线性函数但设则为单射.令易证仍为V上双线性函数.并且命题2维线性空间V上同一双线性函数，在V的不同基下的矩阵是合同的.证：设在V的基与下的度量矩阵分别为即A与B合同.注：若矩阵A与B合同，则存在一个双线性函数及V上两组基，使在这两组基下的度量矩阵为1、定义设是线性空间V上的一个双线性函数，如果从　可推出　则称是非退化的.命题3双线性函数是非退化的的度量矩阵为非退化的.三、非退化双线

4、性函数2、性质证：设双线性函数在基下度量矩阵为若对任意均成立.即对任意均有必有而只有零解即即非退化.推论：由可推出则非退化.例、设　定义　上的一个二元函数(1)证明f是上得双线性函数；(2)求在基下的度量矩阵.3、例题讲析(1)证所以度量矩阵为（2）解：四、对称双线性函数1、定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为对称双线性函数.2、定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为反对称双线性函数.命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（

5、反对称的）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.证：任取V的一组基则3、对称双线性函数的有关性质同样定理5设V是数域P上n维线性空间.是V上对称双线性函数，则存在一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角形.证：只需证能找到一组基，使1）若　则2）若不全为0，先证必有否则，若则对有所以这样的是存在的.对用归纳法.①时成立.②假设维数上述结论也成立.将扩充为V的一组基令则易证仍是V的一组基.考察由生成的线性子空间有且把看成上的双线性函数，仍是对称的.由归纳假设，有一组基满足故是V的一组基，且满足由于若在

6、基下的度量矩阵为对角矩阵则对注：推论1设V是复数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对推论2设V是实数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对为正惯性指数.定理6设为n维线性空间V上反对称双线性函数（即）则存在V的一组基使（2）4、反对称双线性函数的有关性质即在这组基下的度量矩阵为证：首先是反对称的，若为函数，则V的任意一组基皆可取作结论成立.①.时，若不是函数.且线性无关，则必有使得否则若有则所以可取适当使令即有②.假设维数时结论成立.将扩充为V的一组基则令易证：仍为

7、V的一组基.令则于是由归纳假设，看作上双线性函数仍是反对称的.于是有的基满足（2）.由于都有故满足（2）.②不同双线性函数可能导出同一个二次函数.如：设两个双线性函数在基下的度量矩阵为但可则对应的二次齐次函数相同.如：③一个对称双线性函数只能导出一个二次型.此即为以前学过的二次型.此时，而二次型与对称矩阵1-1对应.命题3为V上反对称双线性函数证:对为V上对称双线性函数，若非退化的，则有V的一组基　满足这样的基叫做V的对于的正交基.4、正交基定义设V是数域P上的一个线性空间，在V上定义了一个非退化的双线性函

8、数.则称V为一个双线性度量空间.特别地，　　　　　　　　　　　为V上非退化对称双线性函数时，V称为一个伪欧式空间.5、双线性度量空间定义