悬链线方程的推导过程.doc

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1、悬链线方程的推导过程悬链线(Catenary)是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y=a*cosh(x/a)其中a是一个常数。最低点处受水平向左的拉力H，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,受力分析有：Tsin=mg,Tcos=H并且对于绳上任意一点有tan=dy/dx=mg/H，mg=s其中s是右半段绳子的长度,是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程dy/dx=

2、s/H利用弧长公式ds=(1+dy^2/dx^2)dx所以有，实际上就是弧长积分公式：s=1+dy^2/dx^2dx所以把s带入微分方程得dy/dx=1+dy^2/dx^2dx/H（1）对于(1)设p=dy/dx并做微分处理可得：dpp'=/H1+p^2（2）dx对（2）分离常量求积分1dp/Hdx（3）1+p^2得：ln(p1+p^2)x/H+C边界条件：x=0，dy/dx=0，代入后可得C0，整理后为：ln(p1+p^2)x/H（4）由1ln(1+p^2p)ln()ln(

3、1+p^2p)x/H（5）1+p^2p即得p=e^(x/H)-e^(-x/H)/2=dy/dx（6）y=p=H/2e^(x/H)+e^(-x/H)（7）如果令a=H/的话，则有y=p=e^(x/a)+e^(-x/a)/(2a)acosh(x/a)（8）即为双曲函数。