1悬链线方程的推导

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1、1　悬链线方程的推导锚链一端受到水平预张力，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。设锚链水中单位重力为，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为。对于横坐标上0至这段锚链，长度为，则，顶端拉力为，该力倾角为，水平张力,根据力学原理可知，，和三力平衡。可知(图2).图1图2假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链，该平衡均成立，，而，对该式取微分，则有（1）弧长微分，对式（1）分离变量后并积分：（2）对式（2）积分后得到：（3）对式（3）再次分离变量后，得（4）并积分，（5）查积分公式可得：（6）式（6）即为锚链悬链线的一般方程。假设锚链末端拖地，并设拖地点为

2、原点，则对于拖地点有，，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：，,代入式（6）得:（7）式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。该方程对于有悬锤的悬链线更适用。，代入式（3）,（6）可解得：（8）式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。为悬链线长度，在已知的情况下，根据式（7）可求出值，并对曲线积分，即可求出悬链线长度。2　带悬锤的悬链线方程有悬锤的悬链线，受力模式和求解过程均与一般悬链线相似。区别的是其初值不同,因此只是和不同而已。从图3可以看出，以悬锤点为界，上段悬链线中的竖向力多了悬锤

3、重和，水平力均相同，悬锤以下段，悬链线与一般悬链线相同。图3　带悬锤的悬链线受力图悬挂点处初始值：，且（9）式中；为悬锤水下重力，实际重力应作换算。（10）以悬挂点为原点建立的悬链线方程，同样适用于锚链不拖地的情况，但悬链线方程式应通过试算来确定。式（10）即为锚链悬挂点至悬锤处的悬链线方程：悬挂点坐标为则悬挂点以下悬链线方程为：（11）根据式（10）和（11），对于任意给定的坐标，可求出值，即可知任意位置的水深值。