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《杨辉三角与二项式系数的性质(教案).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标:知识与技能:掌握二项式系数的四个性质。过程与方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观:要启发学生认真分析书本图1-5-1提供的信息,从特殊到一般,归纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型:新授课教具:多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入:1.二项式定理及其特例:(1),(2).2.二项展开式的通项公式:3.求常数项、有理项和系
2、数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课:1二项式系数表(杨辉三角)展开式的二项式系数,当依次取…时,二项式系数表,表中每行两端都是,除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2.二项式系数的性质:展开式的二项式系数是,,,…,.可以看成以为自变量的函数定义域是,例当时,其图象是个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵).直线是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.∵,∴相对于的增减情况由决定,,当时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取
3、得最大值;当是偶数时,中间一项取得最大值;当是奇数时,中间两项,取得最大值.(3)各二项式系数和:∵,令,则三、讲解范例:例1.在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明:在展开式中,令,则,即,∴,即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.说明:由性质(3)及例1知.例2.已知,求:(1);(2);(3).解:(1)当时,,展开式右边为∴,当时,,∴,(2)令,①令,②①②得:,∴.(3)由展开式知:均为负,均为正,∴由(2)中①+②得:,∴,∴例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10
4、展开式中x3的系数解:=,∴原式中实为这分子中的,则所求系数为第二课时例4.在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数解:∵∴在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为∴展开式中含x的项为,∴此展开式中x的系数为240例5.已知的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项解:依题意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项,又令,此所求常数项为180例6.设,当时,求的值解:令得:,∴,点评:对于,令即可得各项
5、系数的和的值;令即,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7.求证:.证(法一)倒序相加:设①又∵ ②∵,∴,由①+②得:,∴,即.(法二):左边各组合数的通项为,∴.例8.在的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.解:设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用
6、“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为.②令,各项系数和为.③奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.④设,令,得到…(1),令,(或,)得…(2)(1)+(2)得,∴奇数项的系数和为;(1)-(2)得,∴偶数项的系数和为.⑤的奇次项系数和为;的偶次项系数和为.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9.已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解:由题意,解
7、得.①的展开式中第6项的二项式系数最大,即.②设第项的系数的绝对值最大,则∴,得,即∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项例10.已知:的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项解:令,则展开式中各项系数和为,又展开式中二项式系数和为,∴,.(1)∵,展开式共项,二项式系数最大的项为第三、四两项,∴,,(2)设展开式中第项系数最大,则,∴,∴,即展开式中第项系数最大,.例11.已知,求证:当为偶数时,能被整除分析:由二项式定理的逆用化简,再把变形,化为含有因数的多项式∵,∴,∵为偶数
8、,∴设(),∴(),当=时,显然能被整除,当时,()式能被整除,所以,当为偶数时,能被整除三、课堂练习:1.展开式中的系数为,各项系数之