第五章：大变形问题的有限单元法课件.ppt

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1、第五章大变形问题的有限单元法1.弹性大变形问题的有限元法2.弹性分支点稳定问题有限元分析3.物质描述大变形增量问题的T.L、U.L法2000.41哈尔滨建筑大学王焕定教授制作大变形时平衡方程和虚位移原理变形体初始和现时位形如图所示，以欧拉应力表述平衡时这是现时位形空间描述的平衡条件。在外荷为保守力系时经推证得上式乘以J，由于由复合函数求导数，平衡方程改写为平衡方程成为对任意j恒有证明以j=1为例同理可验证，对任意j恒有上述拉格朗日和克希荷夫应力表示的平衡条件都是以初始位形作参考的物质描述。利用克希荷夫应力和拉格朗日应力的关系，可将平衡条件改为如果考虑到变形梯度和位移梯度间的关系，对比小变形

2、情况，可见大变形时变形对平衡的影响，是通过变形或位移梯度表现出来的。则克希荷夫应力表达的平衡方程可改为设现时位形微小虚位移在V内单值连续、在位移边界上为零。则外力总虚功为考虑到位移边界虚位移为零和应力边界条件空间描述的虚位移原理将平衡方程引入，考虑到虚位移微小，则利用格林公式，可得也即虚位移原理的虚功方程为若虚位移用虚速度、虚应变用虚应变率代替，则柯西应变虚功率方程为建立物质描述虚功方程，先讨论能量共轭关系。空间描述中又因为变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率单位体积变形功率因此克希荷夫应力和格林应变在能量上共轭。由于变形率和欧拉应力张量是对称的，因此再利用欧拉和拉格朗日应力间关系

3、，可得因此拉格朗日应力和初始位形位移梯度在能量上共轭。由此即可得到物质描述的虚功方程为由虚位移原理可得式中为单元结点力矩阵，为单元等效结点荷载矩阵Pd和PE分别为直接和等效结点荷载矩阵，R为综合等效结点荷载矩阵。上式也可写为按集成规则集装后可得1.弹性大变形问题的有限元法弹性大变形问题，需要考虑变形的非线性项和变形对平衡的影响。若以初始自然平衡状态作初始位形，则物质描述的格林应变为式中线性部分非线性部分为便于计算机编程，将张量转换为矩阵：格林应变矩阵和张量的分量间有如下关系对应的克希荷夫应力矩阵和张量分量间关系为引入两个算子矩阵式中再引入位移梯度向量的记号3阶单位矩阵在上述符号基础上，格林

4、应变有位移表为则单元格林应变为其中线性应变矩阵B和线性分析一样设单元位移场为非线性部分“应变矩阵”为式中G为如下9×3m的矩阵式中AL为如下6×9的矩阵由(AL)可见，格林应变-位移关系是非线性的。非线性部分因为为用虚位移原理建立单元刚度方程，还需有应变增量和位移增量间的关系。对线性部分所以综上所述，格林应变增量为如果记，则。对弹性问题，在物质描述下本构关系(克希荷夫应力和格林应变)为在上述基础上，由虚位移原理可得式中为单元结点力矩阵，为单元等效结点荷载矩阵Pd和PE分别为直接和等效结点荷载矩阵，R为综合等效结点荷载矩阵。上式也可写为按集成规则集装后可得将克希荷夫应力表达式代入，可得式中K

5、(U)是非对称的，为对非线性弹性问题、和都是位移的函数。根据非线性方程切线刚度矩阵的定义，可得根据本构方程，则有又因式中所以又因,所以由此可得式中基于上述说明，可得如果引入如下记号初应力或几何刚度矩阵线弹性刚度矩阵大位移刚度矩阵则单元切线刚度矩阵为“结构”切线刚度矩阵为建立了切线刚度矩阵，用牛顿法等即可求解。以上的讨论没涉及具体单元，因此具有普遍性。具体单元分析时，因形函数一般是自然坐标的函数，故需作坐标变换后代入相关公式，从而建立具体单元的切线刚度矩阵。牛顿迭代法解大变形问题的具体步骤为：牛顿迭代法解大变形问题的具体步骤为：以上是全量形式的弹性大变形分析，为了保证收敛，拟用增量迭代法。极

6、值点失稳问题弹塑性问题2.弹性分支点稳定问题有限元分析研究弹性稳定问题时材料应力应变关系是弹性的，也即。式中对线弹性问题由弹性常数表示，对非线性弹性问题由割线或切线系数表示。稳定问题可分为两大类：分支点（第一类）稳定问题；极值点（第二类）稳定问题。分支点稳定问题存在稳定平衡状态和不稳定平衡状态的分界点，在此临界状态下，系统可在两种不同的变形形式下保持平衡。极值点（第二类）稳定问题变形形式整个过程中是不变的，但当荷载达到临界值时，变形将迅速增加使系统丧失承载能力或破坏。只讨论第一类线性弹性稳定问题。2.弹性分支点稳定问题有限元分析对于分支点稳定问题时，可设外荷是比例加载的。由于第一类稳定问题

7、主要是解决临界荷载计算，因此失稳状态相对稳定平衡状态的位移仍然是微小的，故可略去上节所推得的大位移矩阵项。但因为现时失稳位形和初始稳定平衡是两种不同的变形形式，因此应变要考虑失稳位移的非线性项。临界状态时稳定平衡和不稳定平衡荷载不变，前者是没有与失稳位移对应的荷载的，由结构力学已知，稳定分析的关键是确定几何刚度矩阵。因此集装后的整体切线刚度方程为式中为整体线性刚度矩阵，为整体几何刚度矩阵，为不稳定平衡位置相对稳定平衡位置