第二章_维纳滤波和卡尔曼滤波.ppt

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1、系统的期望输出：。滤波的目的：为了得到不含噪声的信号　　。称期望信号。系统实际输出：。第二章　维纳滤波和卡尔曼滤波2.1引言观测数据　　，信号　　，噪声图2.1.1观测信号的组成图2.1.2信号处理的一般模型1平滑或内插：根据过去的观测值　　　　　　　，估计过去的信号值　　　　　　。滤波：已知当前和过去的观测值　　　　　　　，估计当前的信号　　。预测：已知过去的观测值　　　　　　　　　　　，估计当前及以后时刻的信号值　　　　　　　。维纳滤波（Wiener）和卡尔曼滤波(Kalman)解决从噪声中

2、提取信号的滤波或预测问题，并以估计的结果与真值之间的误差均方值最小作为最佳准则。维纳滤波的思想是20世纪40年代初提出的，1949年正式以书的形式出版。卡尔曼滤波是20世纪60年代由卡尔曼提出的。2(1)维纳滤波根据　　　　　　　　　　　估计信号的当前值，它的解以系统的系统函数　　或单位脉冲响应形式给出。这种系统常称为最佳线性滤波器。卡尔曼滤波用前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号当前值，它用状态方程和递推的方法进行估计，它的解以估计值（常是状态变量值）形式给出。系统常称为线性最优估计器。(

3、2)维纳滤波只适用于平稳随机过程；卡尔曼滤波适用于平稳和非平稳随机过程。(3)维纳滤波设计时要已知信号与噪声的统计分布规律。卡尔曼滤波设计时要求已知状态方程和量测方程。共同点：都解决最佳线性滤波和预测问题，都以均方误差最小为最优准则，平稳条件下它们得到的稳态结果一致。维纳滤波和卡尔曼滤波比较：不同点：3通信的信道均衡器在通信系统中，为了在接收端补偿信道传输引入的各种畸变，在对接收信号进行检测之前，通过一个滤波器对信道失真进行校正，这个滤波器称为信道均衡器。图2.1.3信道均衡器的结构示意来自于实

4、际的对Wiener滤波器的几个应用实例：4发送端发送序列系统辨识有一个系统是未知的，设计一个线性滤波器尽可能精确的逼近这个未知系统，Wiener滤波器实现一个统计意义上最优的对未知系统的逼近。经信道传输后，接收端的滤波器输入信号，可能包含畸变，加性噪声，多径效应期望信号，尽量确定Wiener滤波器系数，使尽可能逼近即，也就是使估计误差的均方值最小，（均方误差最小准则）5图2.1.4线性系统辨识的结构是Wiener滤波器的期望响应，使与间的估计误差的均方值最小。6最优线性预测通过一个随机信号已存在

5、的数据来预测一个新值，这是一步前向线性预测问题。由的线性组合得到对的最优估计，相当于设计一个FIR滤波器对进行线性运算，来估计期望响应，Wiener滤波器可以用于设计均方误差最小的最优预测器。阵列波束形成，图象编码7假设滤波系统　是一个线性时不变系统，它的和输入信号都是复函数，设维纳滤波器设计的任务就是选择,使其输出信号　与期望信号　　误差的均方值最小，实质是解维纳－霍夫方程。2.2维纳滤波器的离散形式－－时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法考虑系统的因果性，可得到滤波器的输出8设期望信号，

6、误差信号及其均方误差分别为要使均方误差为最小，需满足：这里，　表示，用，表示，　　。9由于是一标量，因此上式是一个标量对复函数求导的问题，等价于记则式可写为10得将上式展开由于11将如上各项代入表达式，整理得：因此等价于上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是正交性原理。下面计算输出信号与误差信号的互相关函数12可见，在滤波器工作于最佳状态时，输出和误差信号也是正交的。假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出与期望信号的误差为，则2.2.2维纳-霍夫方程

7、将展开，得整理得13对两边取共轭，并利用相关函数的性质,得此式称为维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。解此方程可得到最优权系数，此式是Wiener滤波器的一般方程，根据权系数是有限个还是无限个可以分别设计IIR型和FIR型Wiener滤波器。FIR滤波器是一个长度为M的因果序列(即是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为把的取值代入上式，得14则维纳-霍夫方程可写成矩阵形式时时定义对上式求逆，得时15此式表明，已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通

8、过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法，当较大时，计算量很大，并需计算，从而要求存储量也很大。另外，具体实现时，滤波器的长度由实验确定，增加，需在新基础上重新计算。维纳-霍夫方程矩阵形式162.2.3FIR型Wiener滤波器的最小均方误差设所研究的信号是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，则17将代入得:18经过了一个通信信道，信道的传输函数，在信道输出端加入了白噪声，通道模型如图，传输函数信道输出，假定与，与不相关，并都是实信