线面、面面垂直的判定与性质.ppt

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1、第三讲线面、面面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定:⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α;（线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）线线垂直线面垂直基础知识3.直线与平面垂直的性质:⑴直线和平面垂直，那么直线就垂直于这个平面内的任何直线线面垂直线线垂直⑵性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行a⊥α，b⊥αa∥b4.点到平面的距离:从平面外一

2、点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离.注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足.5.斜线在平面上的射影,直线和平面所成角⑴平面的斜线;斜线在平面上的射影;⑵斜线段,垂线段定理:从平面外一点所引的垂线段和斜线段中①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短⑶直线和平面所成角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角

3、注意:⑴范围:如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是⑵最小性定理:斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成一切角中最小角.6.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线逆定理:如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直7.二面角1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角.2)二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3)二面角的大小：可以用它的平面角来度量,范围是：4)直二面角：

4、平面角是直角的二面角叫做直二面角.5)求二面角的大小方法：⑴定义法(2)三垂线定理法(3)垂面法等8．平面垂直的定义及判定定理：⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：平面α⊥平面β⑵两个平面垂直的判定,证明方法:①定义②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直，面面垂直）③⑶两个平面垂直的性质①性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（线线垂直线面垂直）②③【例1】⑴设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（）A.有且仅有一条直线与a，

5、b都垂直；B.有一个平面与a，b都垂直；C.过直线a有且仅有一个平面与b平行；D.过空间中任一点必可作一条直线与a，b都相交.⑵已知m,l是直线,α,β是平面，给出下列命题:A.若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；B.若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；C.四面体中最多可以有四个面是直角三角形;D.若mα且l⊥β，且α∥β则m⊥l其中正确命题的是。CACD例题⑶α,β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外两条不同的直线，给出四个论断：（A）m∥n（B）m∥β（C）α⊥β（D）n⊥α；以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_

6、______【例2】如图，P是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。【例3】如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD.【例4】如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1与AB的中点。①求A1B1与截面A1ECF所成的角；②求点B到截面A1ECF的距离.【例5】如图ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＰＡ＝ＡＤ＝ａ，Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＰＣ的中点.１)求平面ＰＣＤ与平面

7、ＡＢＣＤ所成二面角的大小；２)求证：平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤＥＮＤＭＢＣPA【例6】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.【例7】如图所示，已知△ABC和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°（1）求证：BD⊥平面ADC；（2）若H是△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影。【知识方法总结】1.

8、线面垂直关