各向异性弹性力学.ppt

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1、第二章各向异性弹性力学各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别差别在于:本构方程其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件等则完全相同.即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.单元体应力及正负号规定如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴的正向时,该应力分量就为负.yx作用在y面上的正应力作用在y面内x方向的剪应力z静力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元体的体积力力要平衡！几何关系(小变形)(6)变形要协调！三个

2、独立的位移场即可以完全确定变形，而应变亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！本构方程（6）反映出材料的性质！与之间的关系各向异性弹性力学问题需满足的基本方程与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力学有15个未知量15个场方程静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）可以求解了吗？给定力的边界条件(3)定解还需边界条件！给定位移的边界条件(3)各向异性弹性力学问题需满足的基本方程（另一组定解方程）与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力学有12个未知量12个场方程静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）＋变形协调方程（3）变形协调方程(

3、3/6)只有三个是独立的，为什么？以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方面构成各向异性弹性力学的基本方程,与各向同性弹性力学的区别在于物理方程.其它均相同弹性介质的本构关系均质弹性体的弹性性质坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式)弹性对称性——本构关系的简化正交异性材料弹性常数的物理意义2.1弹性介质的本构关系2.1.1弹性介质的本构关系规定下标i，j与一维指标对应如下次序：(2－1)则（2－1）的两式可以写成矩阵乘法的形式，第一式可以写作记作可以理解为张量等式，，理解为应力张量和应变张量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式，，理解为应力

4、列矢量和应变列矢量，[L]理解为弹性刚度矩阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的对称矩阵。（2－2）由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2－2）式中的列矢量与的第4行与第5行相同，第6行与第7行相同，第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵与柔度矩阵第4行、列与第5行、列相同，第6行、列与第7行、列相同，第8行、列与第9行、列相同。利用这种对称性，可以把应力张量与应变张量写成6个元素的“列矢量”相应的，L与M可写成6行6列的对称矩阵也就是说，各列除去重复的元素，但第1、2、3列的元素的数值不变，而第4、5、6列的元素则乘以2。此时，张

5、量运算与矩阵运算仍然一样，但失去了矩阵地对称性。有的文献中定义应力“列矢量”为应变“列矢量”为注意：，，就是剪切角，，。于是可以把弹性本构关系写成：或（2－3）（2－4）容易导出矩阵C，s与L，M之间的关系为2.1.2弹性应变能密度固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体内。这种能量称为应变能。通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：其中(Voigt对称性)(Voigt对称性)由线弹性可以得2.2均质弹性体的弹性性质对于均质弹性体，材料的性

6、质与位置坐标无关。其应变位能是应变分量，，…，的函数，而且只取决于应变的最终值。从数学上说，是应变状态的单值函数，而且与积分路径无关，必是对应变分量的全微分，即：可得（2－5）为了便于以后的讨论，给出的展开式（2－6）2.3坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式)2.3.1斜面应力为了讨论过点A任意斜面的应力，在点A附近取一个四面体微元ABCD(图2－1)。图2－1斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：则有式中，、、、依次为三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面BCD上应力向量在坐标方向上的分量为、、，则由四面

7、体微元的的条件得到：（2－7）得到方程如下：写成矩阵形式也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。（2－8）2.3.2应力应变转轴公式三维情况：图2－2坐标系如图2－2所示，新坐标与原坐标的方向余弦列于表1：其中xyzx′l1m1n1y′l2m2n2z′l3m3n3表1即（2－9）将式（2－9）展开，并按一定次序排列应力张量，可得应力分量转轴公式：（2－10）称为应力转换矩阵同理可得，应变分量转轴公式（2－11）称为应力转换矩阵二维情况：二维情况的坐标建立如下两图：图2－3图2－4同理：（2－1

8、2）（2－13）（2－14）2.3.3弹性系数的转轴公式各向异性体的弹性特性随方向不同而异，即各向异性体的弹性系数是方向的