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1、线性方程组的解法在科学和工程计算中，大量的科技和工程实际问题常常归结为解线性方程组（LinearSystemsofEquations），如电学中的网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等都导致解线性代数方程组。本章我们主要介绍解线性方程组的数值解法。常用的数值方法可分为两大类。第一类是直接方法，在不考虑舍入误差的情况下，可通过有限次算术运算求得准确解。克莱姆法则就是一种直接法。但是方程组的阶数较高时它的运算量太大，实际无法使用。第二类是迭代方法，迭代法是从某一个取定的初始向量出发，构造一个适当的迭代公式，逐次计算出向量,，使得向量序列收敛于方程组的精确
2、解。这样，对适当大的，可取作为方程组的近似解。为了讨论线性方程组的数值解法，我们首先复习一些线性代数的基础知识。第一节矩阵基础知识一、线性方程组及其一般解法设有元线性方程组（3-1）若令，，则其矩阵形式为（3-2）（1）至少有零解，且当且仅当A的秩＝时，齐次方程组只有零解。（2）有非零解的充要条件是A的秩＝，此时方程组的基础解系为方程的通解为：（3）有唯一解的充要条件是的秩＝。由克莱姆（Cramer）法则，其解为（4）的秩=的秩＝时，有无穷多组解，如果为其一个特解，则的通解为。例3.1求解线性方程组解方程的矩阵形式：Mathematica程序：Det[A]＝0
3、，A的秩A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};MatrixForm[%]Det[A]0行列式＝0,有非零解r=Sum[RowReduce[A][[i,i]],{i,1,4}]3系数矩阵的秩＝3NullSpace[A]{{-2,1,-2,3}}基础解系方程的通解为例3.2求解线性方程组解Mathematica程序：A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};MatrixForm[%]Det[A]40行列式,只有零解NullSpace[A]｛｝
4、基础解系为空例3.3求解线性方程组解Mathematica程序：Clear[A,b]A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};MatrixForm[%];b={4,2,-2,4};Det[A]0行列式＝0,有无穷多组解。r=Sum[RowReduce[A][[i,i]],{i,1,4}]3系数矩阵的秩＝3NullSpace[A]{{-2,1,-2,3}}基础解系LinearSolve[A,b]{1,1,-1,0}一个特解于是方程组的通解为例3.4求解线性方程组解Mathematica程序：Clear[
5、A]A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};MatrixForm[%];Det[A]40行列式,有唯一解b={4,2,-2,4};LinearSolve[A,b]｛2，0.5，0，-1.5｝唯一解二、矩阵特征值和谱半径（一）特征值和特征向量设是一个阶实矩阵，若对于数，存在非零向量，使得成立。则称是的特征值(CharacteristicValue)，为的对应于的特征向量(CharacteristicVector)。特征值和特征向量的性质：（I）对应于同一特征值的特征向量的线性组合仍是对应于该特征值的特
6、征向量（只要这个线性组合不为零向量）；（II）对应于不同特征值的特征向量线性无关；（III）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。当矩阵阶数较低时，可根据定义用代数方法求矩阵的特征值和特征向量，但当矩阵阶数较高时是极为困难的，此时可用Mathematica软件求解。例3.5方阵由前25个相邻整数构成，求的特征多项式、特征方程、特征值与特征向量。解Mathematica程序：A=Partition[Range[25],5];MatrixForm[%]CharacteristicPolynomial[A,]CharacteristicPolynomial
7、[A,]＝＝0Eigenvalues[N[A]]//ChopEigenvectors[A]//N;MatrixForm[%]运行结果：特征多项式特征方程特征根特征向量（二）矩阵的谱半径定义3.1设为阶方阵，为的特征值，称特征值模的最大值为矩阵的谱半径，记为。称为矩阵的谱。由特征值的定义容易得出，矩阵的谱是，因而三、常用矩阵及其性质设为阶方阵（1）对角矩阵：当时，。（2）三对角矩阵：当时，。（1）上三角矩阵：当时，。（2）对称矩阵：。（3）对称正定矩阵：且对任意非零向量，有。对称正定矩阵的性质：（I）为非奇异矩阵，且亦是对称正定阵；（II）记为的顺序主子阵，则亦
8、是对称正定阵；（III）的特征值；（Ⅳ
