[理学]线性方程组的解法

《[理学]线性方程组的解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第三章线性方程组的解法§2作业讲评2§3.0引言§3.1雅可比(Jacobi)迭代法§3.2高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法§3.3超松驰迭代法§3.4迭代法的收敛性§3.5高斯消去法§3.6高斯主元素消去法§3作业讲评3§3.7三角分解法§3.8追赶法§3.9其它应用§3.10误差分析§3.11总结引言重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题.分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法.(a)直接法：对于给定

2、的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高.(b)迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)1基本思想:与解f(x)=0的不动点迭代相类似,将AX=b改写为X=BX+f的形式,建立雅可比方法的迭代格式：Xk+1=BX(k)+f,其中，B称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(spar

3、sematrices)的方程组.2问题:(a)如何建立迭代格式？(b)向量序列{Xk}是否收敛以及收敛条件?3例题分析:考虑解方程组(1)其准确解为X*={1,1.2,1.3}.建立与式(1)相等价的形式：(2)据此建立迭代公式：(3)取迭代初值,迭代结果如下表.迭代次数x1x2x3000010.720.830.8420.9711.071.1531.0571.15711.248241.085351.185341.2828251.0950981.1950991.29413861.0983381.1983371.29803971.0994421.19

4、94421.29933581.0998111.1998111.29977791.0999361.1999361.299924101.0999791.1999791.299975111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997131.0999991.1999991.299999141.11.21.3151.11.21.34Jocobi迭代公式:设方程组AX=b,通过分离变量的过程建立Jocobi迭代公式，即由此我们可以得到Jacobi迭代公式：[Jacobi迭代公式的算法]1:初始化.n,(a

5、ij),(bj),(x1),M.2:执行k=1直到M为止.①执行i=1直到n为止.;②执行i=1直到n为止.;①输出k,(xi).另外，我们也可以建立Jacobi迭代公式的矩阵形式.设方程组AX=b,其中，A=(aij)n为非奇异阵，X=(x1,x2,…,xn)T,b=(b1,b2,…,bn)T将系数阵A分解为:A=U+D+L,U为上三角矩阵，D为对角矩阵，L为下三角矩阵.于是AX=b可改写为(U+D+L)X=bX=D-1b-D-1(U+L)X由此可得矩阵形式的Jocobi迭代公式：Xk+1=BX(k)+f□§2高斯-塞德尔Gauss-Seide

6、l迭代法注意到利用Jocobi迭代公式计算时，已经计算好的值，而Jocobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，仍用.这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到上式称为Gauss-Seidel迭代法.其矩阵形式是X=-(D+L)-1UX+(D+L)-1b,Xk+1=BX(k)+f.迭代次数x1x2x3000010.720.9021.164421.043081.1671881.28205431.093131.1957241.29777141.0991261.1994671.29971951.099891.19993

7、31.29996561.0999861.1999921.29999671.0999981.1999991.29999981.11.21.3§3超松驰迭代法SOR方法1基本思想:逐次超松弛迭代法(SuccessiveOverRelaxationMethod,简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德尔迭代法，是G-S方法的一种修正或加速.是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一.2SOR算法的构造:设方程组AX=b,其中，A=(aij)n为非奇异阵，X=(x1,x2,…,xn)T,b=(b1,b2,…,bn)T.假设已算出x(k)，(1)相当于用高斯

8、-塞德尔方法计算一个分量的公式.若对某个参数ω，作与加权的平均,即(2)其中，ω称为松弛因子.用(1)式代入(2)式，就得到解方程组AX