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《线性方程组的解法--复习试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、线性方程组的解法在科学和工程计算中，大量的科技和工程实际问题常常归结为解线性方程组(LinearSystemsofEquations),如电学屮的网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等都导致解线性代数方程组。本章我们主要介绍解线性方程组的数值解法。常用的数值方法可分为两大类。笫一类是直接方法，在不考虑舍入误差的悄况下，可通过冇限次算术运算求得准确解。克莱姆法则就是一种直接法。但是方程组的阶数较鬲时它的运算量太大，实际无法使用。第二类是迭代方法，迭代法是从某一个取定的初始向量x(())111发，构造一个适当的迭代公式，逐次计算出向
2、量兀⑴，兀⑵，…，使得向量序列｛*")｝收敛于方程组的精确解。这样，对适当大的力，可取X⑷作为方程组的近似解。为了讨论线性方程组的数值解法，我们首先复习一些线性代数的基础知识。第一节矩阵基础知识一、线性方程组及其一般解法设有刃元线性方程组a2X+a22X27卜a2nXn~^2(3-1)若令4】a2…%X】bA=•••。22•••…吆••••••,X=兀2■■■,b=b2■■■仏2…amnJ儿-b.nMW+。加兀2+…+Q〃〃儿=4则其矩阵形式为Ax-b(3-2)(1)Ax=0至少有零解,几当几仅当A的秩=〃时，齐次方程组只有零解。
3、(2)Ax=0有非零解的充要条件是A的秩=『5此吋方程组的基础解系为方程的通解为:X=k&+他多+-+V/n（3）Ax=b冇唯一解的充要条件是/的秩=小由克莱姆（Cramer）法则，其解为det（4）det(y4)（4）（Ah）的秩二/的秩=了。时，Ax=b冇无穷多组解，如果也为其一个特解，则Ax=b的通解为x=牯+他§2+…+y’+%。例3.1求解线性方程纽＜3兀]一2x2一兀3+2乞=°5x2+lx3+3x4=0解方程的矩阵形式：Ax=bMathematica程序:Det[A]=O,A的秩A二{{1,1,・2,・1},{3,・2,・1
4、,2},{0,5,7,3},{2,・3,・5,・1}};MatrixForin[%]Det[A]0行列式=0,有非零解r=Sum[RowReduce[A][[i,i]],{i,l,4}]3系数矩阵的秩=3NulISpace[A]{{-2,1,-2,3})基础解系方程的通解为X=k*{-24-2,3}={-2k.k-2k^k]例3.2求解线性方程组？5x2+7心+3兀4=0解Mathematica程序:A={{1,1,・2,・1},{3,・2,・3,2},{O,5,7,3},{2,・3,・5,・1}};MatrixForm[%]Det[A]
5、NullSpace[A]40行列式HO,只有零解{}基础解系为空例33求解线性方程组？3x,一2x2一3兀3+2x4=25x2+7些+3兀=一2解Mathematical程序:Clear[A,b]A二{{1,1,・2,・1},{3,・2,・1,2},{0,5,7,3},{2,・3,・5,・1}};MatrixForm[%];b二{4,2,・2,4};Det[A]r=Sum[RowReduce[A][[i,i]],{i,l,4}]NullSpace[A]LinearSolve[A,b]于是方程组的通解为0行列式=0,有无穷多组解。3系数矩阵
6、的秩=3{{-2,1,-2,3}}基础解系{1,1,-1,0}一个特解‘-2、1(1)1X=k*-2+-13丿<0,兀]+花一2x3-x4=4例3・4求解线性方程纽＜3兀]一2x2一3x3+2x4-25x2+7x3+3兀=-22^
7、—3a*2—5兀3—兀4=4解Mathcmatica程序：Clear[A]A={{1,1,・2,・1},{3,・2,・3,2},{O,5,7,3},{2,・3,・5,・1}};MatrixForm[%];DetfA]40行列式HO,有唯一解b二{4,2,・2,4};LinearSolve[A,b]{2,0.5
8、,0,-1.5}唯一解二、矩阵特征值和谱半径（一）特征值和特征向量设/是一个阶实矩阵，若对于数2,存在非零向量兀，使得Ax=Ax成立。则称兄是/的特征值（CharacteristicValue）,兀为/的对应于几的特征向量（CharacteristicVector）o特征值和特征向量的性质：（I）对应于同一特征值人）的特征向量的线性组合仍是对应于该特征值的特征向量（只要这个线性组合不为零向fi）；（II）对应于不同特征值的特征向量线性无关；（III）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。当矩阵阶数较低时，可根据定义用代数方法求矩
9、阵的特征值和特征向量，但当矩阵阶数较高时是极为困难的，此时可用Mathematica软件求解。例3・5方阵A由前25个相邻整数构成，求/的特征多项式、特征方程、特征值与特‘-2、1(1)1X=
