《正则方程》PPT课件.ppt

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1、第七章正则方程力学体系的哈密顿形式（Vs.拉式形式理论框架）40.哈密顿方程回顾拉氏量描述的理论形式需要广义坐标、广义速度相应方程是2阶微分Now:直接使用广义坐标、广义动量作为独立的变量来表达运动方程：一阶！(数学上，任意高阶的方程通过引入中间变量总可以变为一阶，代价是独立变量增多，但是更统一！)哈密度形式正是这样的思路Now：具体如何实现(实现方式自然不唯一，我们需要一种统一的方式.)思路1：可以由统一的Euler方程出发，变换其到一阶！思路2：勒让德变换广义动量拉氏量哈密顿函数重要性质：原则上，从广义动量定义出，可以反求出代入上面！注意：这三者是一代数

2、关系(不保护额外微分关系)，故它们之间的关系在运动过程中不变，也与初始条件无关！用新变量表示正则方程，运动方程！对比，既可得上面结果！性质2拉氏量时间平移不变，H守恒拉氏量，哈密顿函数包含其他参数，假定把这些参数看到变量比如：拉个朗日乘子系数；有进一步，比较思考：把这些参数当作广义坐标，其相应的广义动量是0，则……41.罗斯函数物理意义：对部分广义坐标相应的内容做勒让德变换混和假设广义坐标相应的广义动量性质or现在运动方程的表示完全用罗斯函数表达的运动方程(剩余那一个)体系的能量罗斯函数的作用：存在循环坐标时(即某些广义坐标相应的广义动量是常数!)如果q是循环

3、坐标，L不显含q,罗斯函数也不显含q,R只是的函数.此时，关于的运动方程表达为其中p为固定常数，和体系的初始状态有关，该方程与q无关!退耦。另外一个可以直接求!42.泊松括号已知函数其中已定义有代入哈密顿方程上面括号称为泊松括号。运动积分条件不显含时间时，即要求算符，对易，。。。泊松括号的重要性质任意两个函数之间的泊松括号特殊情况，如果f,g之一是广义坐标或广义动量，则雅克比恒等式证明：1：直接代入：麻烦计算可得2：方便技巧方法左边，对f,第一项只包含f的一阶微分，第二、三项包含f的二阶微分，现在来看第二、三项对f的二阶贡献设则D1，D2的一般形式(不包含2次

4、微分形式)其中系数任意。由此二、三项对f的2阶微分贡献为0左边只有二阶微分贡献？0重要性质：如果f,g是运动积分，则它们的泊松括号也是运动积分。（注：表达成函数关系）泊松定律证明：不显含时间，直接由雅克比恒等式可得，取h=H。显含时间由前面043.作为坐标函数的作用量作用量回顾，最小作用量原理，2端点固定，求物理路径！Now:固定初始位置，t2时刻通过不同位置q，这种情况下相应的物理路径的作用量。函数关系无穷小：路径和路径之间的作用量差，一个自由度回顾最小作用量原理:是t1,t2时刻，q1,q2固定，作用量应取极值Now:q2变，路径为真实物理路径，则可得(多

5、自由度)可得，这种情况下同样可以研究t1时刻位置固定，不同时刻t经过不同位置q2这样的物理情况下，作用量关于时间t,q2函数的性质：又可得再进一步：可以假设，初始时刻也变，初始点也变，4个变量，真实物理路径相应的作用量物理意义：运动过程中，无论外部作用对体系如何，终点运动状态都不可能是初始状态的任意函数！！只有右端表达式构成全微分的那些运动才有可能(注：任意作用下)，于是，不管拉格朗日函数具体形式，最小作用量原理给出了可能的运动集合的一定限制！直接由最小作用量原理到哈密顿方程：把坐标和动量作为独立变分的变量1个自由度情况(分部积分)0真实的路径即满足44.莫培

6、督原理：(略)仅确定运动轨迹，不确定轨迹关于时间的函数！对比：2体中心力时，第一个只确定r关于角度的关系给出轨迹方程！45.正则变换在广义坐标、广义动量这2s个变量做变换下，如果运动方程保持正则形式，这样的变换称为正则变换！设要求由此要求，则要求被积核仅相差一时间全微分，即正则变换可由函数F描述，称为母函数母函数是新、老广义坐标的给定函数给出了新、老变量之间的关系，也给出哈密顿量之间关系也可以用广义坐标、动量来表示母函数改写(新的母函数)其他2种变量表示情况母函数不显含时时，此时，新老哈密顿量相等！注意：这里在变换下，为保持方程形式不变，新哈密顿量并不是直接由

7、老哈密顿直接用新变量代换而来只在母函数不显含时间下，如此！正则变量的广泛性p,q正则共轭变量重要性质证明思路46.刘维尔定理(略)相空间的概念:即状态空间2s维,注：没时间轴刘维尔定律内容物理运动过程中，相空间某区域体积不随时间变化。该体积在正则变换下也不变！47.哈密顿-雅可比方程回忆：作用量作为坐标和时间的函数时，有代入，有称为哈密顿－雅可比方程作用目的:给定H关于广义坐标动量的关系，可求出物理路径所相应的作用量S,等价于运动方程！这点容易想象：因为前面的关系都来自于最小作用量原理，或物理路径所相应的作用量。差别在于：表述的自变量不同，待求解的量也不同！但

8、是之间都有等价关系。哈密顿－雅克比方程