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1、.微积分期末试卷一、选择题（6×２）cosx1sinx1.设f(x)2,g(x)()在区间（0，）内（ ）。22Ａf(x)是增函数，g(x)是减函数Bf(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2x2、x0时，ecosx与sinx相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小1３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)x的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n1nAXn(1)BXnsinn211CXnn(a1)DXncosan5、若f"(x
2、)在X处取得最大值，则必有（ ）0Ａf＇(X0)oBf＇(X0)oCf＇(X0)0且f''(X0)<0Df''(X0)不存在或f'(X0)01()26、曲线yxex（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线二、填空题1１、（ ）＝ddxｘ+112、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：ｘ２＋１３４、ｙ＝ｘ的拐点为：２ｘaxb５、若lim２2,则a,b的值分别为：x１ｘ＋2x-3..三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）sinx2、lim
3、在区间（，）是连续函数（）x0x3、f"(x0）=0一定为f(x)的拐点（）4、若f(X)在x0处取得极值，则必有f(x)在x0处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在0,1上二阶可导且f'(x)0令Af（'0），Bf'(1),Cf(1)f(0),则必有A>B>C()四、计算题1221用洛必达法则求极限xlimxex0342若f(x)(x10),求f''(0)42x3求极限lim(cosx)x05x1求3的导数4y(3x1)x235tanxdx五、证明题。31、证明方程xx10有且仅有一正实根。2、证明arcsinxarccosx（1x1）2六、应用题1、描绘下列函数的图
4、形21yxx..解：1.Dy=(-,0)(0,+)312x12.y'=2x-22xx1令y'0得x322y''23x令y''0,得x13.71794.补充点(2,).(,).(1,2).(2,)22225limf(x),f(x)有铅直渐近线x0x06如图所示：222.讨论函数f(x)xInx的单调区间并求极值..解：Df(x)R22(x1)(x1)f'(x)2x(x0)xx令f'(x)0,得x11,x21由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)和(0,1)单调递增区间为(1,0)和（，1）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1一：1~6DDBDBD32x二：1
5、.Inx1;2yx2x;3ylog2,(0,1),R;4(0,0)1x(x1)(xm)xm1mlimlim2x1x15解：原式=(x1)(x3)x34m7b7,a6三：1~5FFFFT112231xxee(2x)x2四：1.解：原式=limlimlime3x01x02xx02x2.332233f'(x)4(x10)3x12x(x10)33232233432.f''(x)24x(x10)12x3(x10)3x24x(x10)108x(x10)f''(x)03...44IncosxIncosxlim22x解：原式=limexex0x01(sinx)4Incosxcosxt
6、anxxQlimIncosxlimlimlimlim222x0xx0xx0xx0xx0x42222原式e511解：InyIn3x1Inx1Inx232215311114.y'y33x12x12x25x15113y'(3x1)x23x12(x1)2(x2)22解：原式=tanxtanxdx（secx1)tanxdx2=secxtanxdxtanxdxsinx=tanxdtanxdx5.cosx1=tanxdtanxdcosxcosx12=tanxIncosxc26.12122解：原式=arctanxd(x)(xarctanxxdarctanx)22212x11=(xar
7、ctanxdx)221x121=xarctanx(1)dx221x21xx=arctanxc22设f（x）=~..Qf(0)10,f(1)10,且f(x)在0,1上连续至少存在（0,1),使得f'(）0即f(x)在（0，1)内至少有一根，即f(x)0在（0，）内至少有一实根假设f(x)0在（0，）有两不同实根x1,x2,x2x1五：Qf(x)在x2,x2上连续，在（x2,x2）内可导且f(x1)f(x2)0至少（x2,x2），stf()02而f'()311与假设相矛盾3方程xx10有且只有一个正实根证明：设f(x)arcsinxarccosx11f'
