数学分析课程中的开放型问题.pdf

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1、第６卷第１１期当代教育理论与实践Ｖｏｌ．６Ｎｏ．１１２０１４年１１月ＴｈｅｏｒｙａｎｄＰｒａｃｔｉｃｅｏｆＣｏｎｔｅｍｐｏｒａｒｙＥｄｕｃａｔｉｏｎＮｏｖ．２０１４数学分析课程中的开放型问题①王卫兵，唐唯（湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭４１１２０１）摘要：数学开放题是一种较新的题型，有很多的优点。在数学分析课程教学过程中，立足教材，适当地编制开放型问题，进行开放型问题教学，有利于激发学生学习兴趣，提升教学效果。关键词：数学开放题；数学分析；教学中图分类号：Ｇ４２０文献标志码：Ａ文章编号：１

2、６７４－５８８４（２０１４）１１－００４７－０２数学分析课程是普通高校数学专业最重要的专业主问题。干课程，是多门后续分析类课程的基础，如常微分方程、例１数列收敛的充要条件是它的所有子列都收敛。复变函数、实变函数、泛函分析，为其提供必要的基础知将该命题中的充分条件减弱便可得到若干开放问题。识、方法与技巧。其特点是体系严密，知识容量大，逻辑问题１数列｛ａｎ｝的子列｛ａ２ｎ｝，｛ａ２ｎ－１｝都收敛。性强，应用广泛。数学分析中概念、定义、公式、定理、方在什么条件下，数列｛ａｎ｝收敛？法技巧众多，蕴含着丰富的

3、数学思想方法。目前，数学分问题２数列｛ａｎ｝的子列｛ａ３ｎ｝，｛ａ３ｎ－１｝，｛ａ３ｎ－２｝都析的教学在模式上注重概念、定理、公式的讲解，通常主收敛。在什么条件下，数列｛ａｎ｝收敛？要结论按照一定模式进行论证和解答，比较忽视启发学也可考虑上述问题的反面。生自己去发现问题、提出问题、解决问题。问题３求一发散数列｛ａｎ｝，其收敛子列的极限都数学开放题是上世纪７０年代发展起来的一种新题相等。型，在一定条件下探索不明确结论，或由给出的结论探索例２（原题）已知函数ｆ∈Ｃ［０，１］，且ｆ（０）＝［１］使结论成立

4、的条件。在开放型问题中，条件可能不完ｆ（１），则存在ｒ∈（０，１）使得ｆ（ｒ＋０．５）＝ｆ（ｒ）．善，需要补充；或满足结论的条件有多种；或结论不唯一；问题４函数ｆ满足什么条件时存在ｒ∈Ｒ使得ｆ（ｒ＋或解决问题的方法不唯一。开放型问题的答案常常不确０．５）＝ｆ（ｒ）？定，没有固定的解题模式，思维发散性大，这种特性决定了教师无法采用灌输式教学，学生必须积极参与，主动地进行探索。数学开放型问题的教学有利于培养学生的数２拓展已有的结论学意识、分析能力、综合能力、抽象能力、推理能力；有利数学分析课程中很多命题

5、、习题蕴含着丰富的信息。于培养学生的探索精神和创新能力。通常教师、学生解完题后就不再深入地思考还能得到什数学分析教材中众多的定理、命题、习题，一般由确么样的结论。将其结论进行拓展，深挖，进一步探索新的定的条件导出确定的结论。但许多命题、习题可加以改结论，可得到某些开放型问题。编成为开放型问题。在教学过程中，立足教材，适当地编例３（原题）已知ｆ′（ａ）＝Ａ存在，求极限制开放型问题，进行一些开放型问题的训练，可大大提升－１ｌｉｍｈ（ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ））。ｈ→０教学效果。－１问题５若ｌｉｍｈ（ｆ（ａ

6、＋２ｈ）－ｆ（ａ））＝Ａ存在，问极ｈ→０－１限ｌｉｍｈ（ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ－ｈ））是否存在？若存在，其值１隐藏原命题的部分条件，反向探求新条件ｈ→０得到某一结论的条件通常不是唯一的。隐藏部分条等于多少？件，探索使结论成立需添加的因素，可将原题改编为开放例４拉格朗日中值定理：设函数ｆ在闭区间［ａ，ｂ］收稿日期：２０１４－０４－３０①作者简介：王卫兵（１９７６－），男，湖北鄂州人，副教授，博士，主要从事微分方程及应用研究。４８当代教育理论与实践２０１４年第６卷内连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，则存在

7、ｒ∈（ａ，ｂ）使得模型。一些问题从实际背景出发，要求学生进行设计数ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ｒ）（ｂ－ａ）．学模型求解，便可得到开放型问题。这样不仅易于激发上述定理中仅仅肯定了ｆ的存在性，对这样的ｆ的个学生的学习兴趣，也有利于培养学生的探索精神和创新数信息不明。我们可以问：能力，提高数学素养。问题６在什么条件下，中值定理中的ｆ的个数是１，例７连续函数的介值定理。是２，甚至是ｆ个？问题１１一人早６点从山脚Ａ处上山，晚１８点到山问题７设函数ｆ在闭区间［ａ，ｂ］内连续，在开区间顶Ｂ处；第二天，早６点从Ｂ处

8、下山返回，晚１８点到Ａ（ａ，ｂ）内可导，ｒ∈（ａ，ｂ），是否存在不同的两点ｓ，ｔ∈处。问是否存在一时刻，这两天都在这一时刻达到同［ａ，ｂ］使得ｆ（ｓ）－ｆ（ｔ）＝ｆ′（ｒ）（ｓ－ｔ）？在什么情形下是一点？存在的？上述各例中问题１、问题２、问题４需要探求使结论成立的条件，其条件有很多种，有难有易，属于条件开放型３改变条件，探索新结论问题；问题３、问题８、问题９的结论不唯一，属于结论开放命题或习题条件的变化，其结论也随之变化。适当型问题；问题６、问题７条件与结论都需要探索