不同解法发生于对题目的认真阅读理解.pdf

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1、中学生数学·2012年l1月上·第453期(高中)硼灌簿留，翩诿理北京十一学校(100039)来世麟指导教师任志瑜‘我在面对2012年北京大学保送生考试题-·n，f(a)，f(f(a))是方程f(．2C)一qcc目时，因阅读理解过程中有不同的关注点，产的根，生了不同的解法，并进行了一些深入思考，特而已知f(z)是二次函数，与大家分享．。．．厂(z)一qz最多两个根，题目已知’()是一个二次函数，且n，‘．．a，(n)，厂(f(n))至少两个相等．-厂(n)，，(／’(“))，厂(厂(．厂(n)))成正等比数列．。．。此数列为等比数列，求证：厂(n)一

2、n．。．．q一1，由方程组知必有，(是)一是，分析与解再次琢磨此题，越来越感到因即f(“)一口．不同的阅读理解、关注而生发出不同的解法，解法三阅读理解关注点：也因阅读理解中对文字、符号、图形语言之间a，，(a)，，(f(a))，f(_厂(，(a)))每前后两建构联系的快与慢、优与劣决定了解题的情况个恰是二次函数对应的抛物线上的点(图形意和进一步思考和深入的可能性．义)．则可设点的坐标为：A(a，f(a))，B(f解法一阅读理解关注点：_厂(z)为二次函(a)，厂(f(a)))，数(数值意义)．类一：假设公比q一1，f(x)为二次函数，可设f(z)一A

3、cc。+Bz贝U有：口一厂(口)=：：，(，(a))一-厂(厂(厂(n)))，+c，A不为0．设等比数列公比为尼，所以有f(口)一Aa+Ba+C—ka，此点即为一-z与二次函数的交点．满足_厂(f(a))一，(愚n)，题目要求．‘A(ka)。+B(ka)+C一忌a。．．q一1时，f(n)一口成立．，(厂(f(a)))一f(忌a)，A(忌a)+B(忌a)类二：假设q≠1，此时不妨先讨论较一般+c一是。n．由多项式恒等定理，分析系数有：情况(最一般情况中具有共同特征的某一类情A忌口+C—Aa患+C是①况)进行讨论，进而推而广之．Aka十C—Aa是0+Ck

4、⑦由①，②式可得：依题，应有南一一等，Aa愚(1一是)一Aa是(1～是)③又知扎—芒rZ===，m、n∈R只有当z一0或m===nA不为零，所以，或者a一0，此时必有_厂(n)时成立．(联想相似三角形)⋯kakO0一“：或者(1一是。)===(1一是)，即是。一是，是为公比，不应为0，寸所以只能是是一1，所以f(＆)⋯kalaa．解法二阅读理解关注点：n，厂(n)，，(_厂(a))，_厂(厂(f(a)))中每前一个项就是后一个项在f法则下的函数变量．设公比为q．图1“，，(a)，f(f(n))，_厂(f(f(a)))成正等比。‘数列，所以有：·q≠1

5、，。r，(a)一aq①．·口≠f(Ⅱ)．‘厂(厂(口))一f(n)q②．．AB所在直线应必过原点．同理，Bcl_厂(-厂(-厂(Ⅱ)))一厂(厂(a))q③所在直线亦应必过原点．应有忌一是，或用代网址：zxss．cbpt．cnki．net●45●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn中学生数学·2012年11月上·第453期(高中)数亦rIJ‘推得：进行讨论，进而推而广之．于是有：由表达式可知，须S一s。(例)，则若一◇I“j二lf(a)I且Ⅱ须『．厂(厂(d))『>f，(“)J，贝U。一学q，、((“))一，(，(“))f(，(

6、“))时，>0．义．j一，(“)时，需00．学，’(“)ql，(“)‘．．不满足波动关系．，(，())球—q’若l“I>l／(“)耳p须I．，。。／(“))>I／(“)，=义由一’l，c专一，、(“)·，、(／(’(“)))，即须S一S(见图3)，，(“)一(J·“‘。．．盎^n一是．{t／⋯_。在二次函数E显然不成立．即此类情况不i，合要求．观在推而广之．若q>1，则如上述讨}t论；符ql儿q>0，则A—c的作图顺序颠倒成(、+A，二次函数网像变扁平，但分析同上．‘．．f，≠1时，不合要求．综_L所述，q一】，／(Ⅱ)一“成立．3引发的深入思考：．

7、‘1(厂(“))1<二1’(“)1，、若将题目改成三项，则．，(a)一。结论题设条件下不一定成矗．只要n≥4(”∈N)．．I，(1，(“))l>l，’(_，。。．，(“))){．．．当』一_，(，(，(“)))时，0，义．Tt’-叫贝U“，／(“)，，(／(“))，⋯，／(，(⋯_，(n)⋯))成正，’(f(“))时，需

8、轴上的坐标夹击向原点靠近，}}1得新数做镜像对称分析即可．如图2，于波数列的绝对值的增减性是一定的，故若在首