再论仿射不变量Wi（K）Wi（K＊）的下界估计.pdf

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1、数学年刊2013，34A(6)：747-760再论仿射不变量Wi(K)Wi(K术)的下界估计冰马统一提要对于所有凸体与每一个i，寻找仿射不变量(K)(K)下界的问题是一个至今未能完全解决的公开问题．最近，赵长健考虑了仿射不变量w(K)w(K)的下界是与凸体本身有关的常数的情形，并利用混合体积与对偶混合体积的关系理论，对仿射不变量w()()的下界进行了讨论．本文进一步讨论仿射不变量()w(K)的下界估计，并对具有正的连续曲率且包含原点为其内点的凸体，获得了仿射不变量w(K)(K)的几个不同精度的下界，同时给出了著名的Bourgain—Milman不等式中通用常数C的具体表示值．

2、最后提出了两个公开问题．关键词凸体，混合体积，p一曲率映象，Lp-John椭球，Mahler猜想MR(2000)主题分类52A40，52A20中图法分类O184文献标志码A文章编号1000—8314(2013)06—0747-141引言凸体的极对偶已广泛应用于数值几何[1】1Minkowski几何[2-31和微分方程【]等领域．1980年，Chakerian[】应用低维凸体的极对偶，在Minkowski空间讨论了单位圆的自圆周和混合面积问题．众所周知，关于凸体和它的极体，有著名的Blaschke—Santal5不等式[6-7]，它可以表述为：如果是中一个原点中心对称凸体，则V

3、(K)V(K)≤2，(1．1)当且仅当是一个中心在原点的椭球时，等号成立．对于Blaschke—Santald不等式逆的研究，近20年来，已引起众多几何学家的广泛关注[6-15]．特别地，Mahler[6—7]提出了如下两个猜想。猜想1．1如果是”中一个原点中心对称凸体，是否有不等式V(K)V(K(1．2)成立?猜想1．1对单形是成立的，它已被冷岗松[16]于2002年给予了证明．猜想1．2如果是中一个原点中心对称凸体，是否有不等式AnV(K)V(K)≥(1．3)成立?1985年，Reisner[14】证明了猜想1．2对带体(Zonoid)是正确的．1986年，Reisner

4、[1又证明了当且仅当为超平形体时，(1．3)中等号成立．随后，一个较短的证明由Gordon，Meyer和Reisner【。】于1988年给出．关于猜想1．2，一个最强的结果由Bourgain和Milman[。]本文2011年4月25日收到，2013年1月8日收到修改稿．河西学院数学与统计学院，甘肃张掖734000．E—mail：matongyi@126．com本文受到国家自然科学基金(No．11161019)的资助．748数学年刊34卷A辑于1987年得到，即Bourgain—Milman不等式：如果是中一个原点中心对称凸体，则存在一个通用常数C，使得V(K)V(K)≥Cn2

5、．(1．4)(1．4)是Blaschke-Santal6不等式(1，1)的逆向结果，1989年，Piser[13】又给出了它的一个新证明．更一般的情形即仿射不变量()()的下界估计问题，同样引起了人们的广泛关注．Steinhardt[】在二维空间对凸体建立了下列重要结论：()(K)≥2，(1．5)其中表示二维空间的平面凸体．另外，Chai和Lee[8]也发现了i=1的情况，即(K)W1(K)的一个下界．特别有趣的是，Lutwak[。]给出了另外一个特殊情形，建立了Wn—I(K)Wn一1(K)的下界(也见[201)Wn一1()一1(K)≥u2，(1．6)当且仅当凸体是一个球时等

6、号成立．事实上，仿射不变量()()的二维与三维下界估计早已在1963年被Firey在文[21】中建立．然而，对于所有凸体与每一个i寻找仿射不变量()()下界的问题，是一个至今未能完全解决的公开问题(见【19—20])．关于部分结果还可参见文【17，22—27】．最近，文[28】在假设仿射不变量Wi(K)W~(K)的下界是与凸体本身有关的常数前提下，考虑并发现了()(K)的一个下界．本文进一步研究Blaschke—Santal6不等式的逆向问题．事实上，我们考虑了一般仿射不变量()()的下界估计，所获主要结果可表述为如下3个定理．定理1．1设是R中一个具有正的连续曲率的凸体，且

7、0∈intK，则对i=0，1，⋯，礼，W~(K)Wi(K2，(1．7)当且仅当是一个中心在原点的椭球时，等号成立．这里Ⅱ2和A2分别表示的2一投影体和2一曲率映象．注1．1(1．7)中i=0的情形说明，实际上我们找到了与凸体有关的常数值c=，V(H2K)、]吉满足Bourgain-Milman不等式(1．4)，且由本文的讨论知，0