由一个数学竞赛试题错解引发的思考-论文.pdf

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1、第10期王峰：由一个数学竞赛试题错解引发的思考·2l·由一个数学竞赛试题错解引发的思考●王峰(临泉县第一中学安徽临泉236400)最近笔者所在学校的高三年级举行了学科竞2个喷水头，使喷出的水花形成有相等半径的QM赛，其中数学试卷中有这样一道题：与。，且o与。外切，同时QM与。例1某地政府准备建造都与椭圆相切，试确定(DM与。圆心的位置及一个如图l所示的椭圆形游泳其半径取值．池，要求椭圆2个焦点之间的试卷给出的参考答案如下：距离为l2，且焦点与短轴端点(1)建立如图1所示的坐标系，不难得到椭圆的连

2、线长度为10(单位：百2，2米)．图l方程为1-66+1·(1)建立适当的坐标系，求此游泳池所在的椭(2)根据对称性知o与。必都与Y轴相圆方程；切，故只需考虑一个圆的情况即可，不妨设。的(2)如图l，若在椭圆长轴上的，处设计圆心为(a，0)(a>0)，则由题意知对密码的概率为+1+1+⋯+1+1>1按2次的方法数．此时，我们理解古典概率模型，该结A。A发生的概率时，基本事件总和中不能排除第1论显然不成立，故第2次按对密码的概率为去是错次按对且第2次按错的方法数(正如教师2所思考的那样)．那么，在

3、今后的学习中，遇见具有条件关误的，可见，如题所得的是正确的·系的2个事件发生的概率问题时，可将本题作为典型例子，仔细比较区分，借鉴利用．2．3对以上质疑的深层剖析3感悟对教师2所说的9×10的理解，后者1指第面对新增加的知识要提前做好培训工作．20112次所按数字的方法数，这将意味着出现2次所按年和2012年暑假教育部组织专家轮流对甘肃省教数字相同的情况，即存在永远按不对密码的可能师进行了新课程培训工作，在教育教学理念等方面性，但事情往往并非如此．于是，我们从事件AA得到不断提升，但在具体知识的

4、细节方面，没能得的发生说起，由于事f与A都发生了，且与A到细致指导．作为学校单位，虽然在教研组集体研为条件关系，故究学习，也未能预防该类问题的发生．P(A一1A：)=P(AI)P()=1×而9=而1，当然，在平时的教学过程中，应提倡勤钻细研，在面子前讲真理．本文例子中2位教师都从大家不P(A1A2A3)=P(A2A3l)P(A1)=起眼的细节出发，通过努力推敲，面子前讲真理，敢P(A)P(AIA)P((A，IA：)JA)=于发表所想，才能给予大家研讨的机会，在研讨中98】1理解知识，形成、建立和

5、交流数学知识，相互学习，而××，共同提升，改进做法，才能提高教学成绩．由此可见，第i次按对密码的概率全为·最简单的基本思考，最原始的错误理解，也许是每个人学习过程中都需经历的，只要我们善于思以上过程采用条件概率公式，例2的解答采用考，从问题的概念、原理等出发遵守规则进行推理，古典概率模型，其中第1次按错、第2次按对的方搜集文本，挖掘资源，捕捉课堂中鲜活的事例，由点法为9×1=9种．将2种方法结合，则=而1，到面，由此及彼，丰富课堂教学内容，提升课堂厚从中可知基本事件总数为90种，即10×9=90

6、为度．唯此，才能使自己的专业得到快速成长．．22·中学教研(数学)(x-a)2+y=。，：l，即l【1／0％／0％1。-64一1，’(4+3k)X+6kx一9=0消Y去，得9一50ax+1600=0．中仍然隐含着lI≤3，故联立消元Y之后并不改变变量的取值范围，故A=0不仅能保证方程因为QM与椭圆相切，所以(4+3)+6kx一9=0A=(一50a)一4×9×1600：0，有2个相等的实数根，而且2个相等的实数根也在解得口：24．此时oQM2的半径均为，且区间[一3，3]内，即此时利用A=0求出后

7、的值可22，保证直线Y=kx+1与椭圆等+=1相切．圆心M，M2在离椭圆中心处．正是受这种思维定势的影响，师生们很自然地1问题发现将“直线与二次曲线相切”时使用的方法嫁接到处将n=代入9x一50ax+l600：0，解得：理2条二次曲线问的相切问题上来，殊不知犯了“张冠李戴”的错误．因为二次曲线方程与二次曲(0，10)，说明口：是错误的．笔者将这一新线方程联立并消元之后，得到的一元二次方程中变量的取值范围可能会扩大．如在本例中，由的“发现”与其他教师交流时，引起了大家的一番『一。)+)，=。，困惑

8、与讨论：“相切”不就是要求“A=0”吗?怎么会出现矛盾呢?参考答案怎么会错呢?虽然有的I+，教师感觉参考答案存在问题，但不知错在何处?如消去-y，得何改正?面对大家的这些困惑与不解，笔者作了深100+二二=1入细致地研究，彻底查清了错解发生的根源所在．’64．‘(＼1)／2问题分析显然方程(1)中二不一定为非负在解答二次曲线与二次曲线位置关系的问题2时，很多师生的第一想法就是通过联立方程组、消，的，故方程(1)不能保证1一／>0，即∈[一10，元，然后根据一元二次方程的判别式进行判断求1O]，况