实数大小比较的常用方法.doc

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1、实数大小比较的常用方法【初二数学】添加时间：2012年11月23日浏览：53次顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。解∵－＝＜0，∴＜。解∵（1－）－（1－）=＞0，∴1－＞1－。二

2、【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。例2：比较与的大小。解：∵÷=＜1∴＜三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。例3：比较－与－的大小。解∵=+，=+又∵+＜+∴－＞－四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例5：比较与的大小解：，=8+2。又∵8+2＜8+2∴＜。五【估算法】估算法

3、的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4：比较与的大小解：∵3＜＜4∴－3＜1∴＜六【移动因式法】（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例6：比较2与3的大小解：∵2==，3==。又∵28＞27，∴2＞3。七【取特值验证法】比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。例7：当时，，，的大小顺序是______________。解：（特殊值法）取=，则：=，=2。∵＜＜2，∴＜＜。例（常德市）设a＝20，b＝(－3)2，c

4、＝，d＝，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d分析　可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解　因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。比较实数大小的八种方法张德军生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产

5、总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。例1比较与的大小。析解：由于，且，所以。说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。二、平方法用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。例2比较与的大小。析解：由于，而，所以。说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转

6、化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。例4比较与的大小。析解：由于，故，所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有：例5比较与的大小析解：因为，又因为，所以所以

7、说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。六、作差法用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：例6比较与的大小。析解：设，则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：例7比较与的大小。析解：设，，则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。例8比较与198的大小。析解：由于所以取n＝2，3，4