圆切线练习题.doc

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1、圆切线问题典型问题例1.已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q,如果OQ=5,PQ=4,则PQ和圆的位置关系是(   )   A.相交                             B.相切   C.相离                             D.位置不定    例2.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,O为AB上一点,AO=m,⊙O的半径,问m在什么范围内取值时,AC与圆:(1)相离;(2)相切;(3)相交。    例3.已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠

2、CAE,FE:FD=4:3。 求证:AF=DF;    例4.已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。4    例5.如图所示,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D。求证:AC与⊙O相切。   点悟:显然AC与⊙O的公共点没有确定,故用“d=r”证之。而AB与⊙O切于D点,可连结OD,则OD⊥AB。   例6.已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CD。   例7.在△ABC中,∠A=70°,点O是内心,求∠BOC的度数。  

3、4圆切线问题典型问题答案例1解:∵OP=3,PQ=4,OQ=5,   ∴,   ∴△OPQ是直角三角形,且∠OPQ=90°,∴PQ⊥OP。   即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。   ∴PQ和圆的位置关系相切,故选B。   点拨:在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时,通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解,即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。  例2.点悟:要判定直线与圆的位置关系,只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。   解:如图所示,过O作OD⊥AC垂足为D,   , ∴   (1)当,即,也即时,则AC与⊙O相离;   (2)当,即,也即

4、时,AC与⊙O相切;   (3)当,即,也即时,AC与⊙O相交。  例3.证明:∵AD平分∠BAC,   ∴∠BAD=∠DAC。   ∵∠B=∠CAE,∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE   ∵∠ADE=∠BAD+∠B,∴∠ADE=∠DAE,∴EA=ED   ∵DE是半圆C的直径∴∠DFE=90°∴AF=DF 例4.点悟:要证CD是⊙O的切线,须证CD垂直于过切点D的半径,由此想到连结OD。   证明:连结OD。   ∵AD∥OC,   ∴∠COB=∠A及∠COD=∠ODA   ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD∴∠COB=∠COD   ∵CO为公用边,OD=OB   ∴△COB≌△C

5、OD,即∠B=∠ODC∵BC是切线,AB是直径,   ∴∠B=90°,∠ODC=90°,∴CD是⊙O的切线。   点拨:辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形,先用切线的性质定理,后用判定定理。4  例5.点悟:显然AC与⊙O的公共点没有确定,故用“d=r”证之。而AB与⊙O切于D点,可连结OD,则OD⊥AB。   证明:连结OD、OA。过O作OE⊥AC,垂足为E。   ∵AB=AC,O为BC的中点,∴∠BAO=∠CAO   又∵AB切⊙O于D点,∴OD⊥AB,又OE⊥AC,∴OE=OD,   ∴AC与⊙O相切。   点拨:此题用了切线的性质定理,同时又用了切线的

6、判定方法“d=r”。  例6.点悟:要证PC=CD,可证它们所对的角等,即证∠P=∠CDP,又OA⊥OB,故可利用同角(或等角)的余角相等证题。   证明:连结OD,则OD⊥CE。   ∴∠EDA+∠ODA=90°∵OA⊥OB   ∴∠A+∠P=90°,又∵OA=OD,  ∴∠ODA=∠A,∠P=∠EDA∵∠EDA=∠CDP,   ∴∠P=∠CDP,∴PC=CD   点拨:在证题时,有切线可连结切点的半径,利用切线性质定理得到垂直关系。  例7.点悟:已知O是内心,由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线。   解:在△ABC中,∠A=70°,      ∵O是△ABC

7、的内心∴     。   ∴   ∴4

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