MDS(多维尺度分析)课件.ppt

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1、MDS(多维尺度分析)杨浩MDS的基本背景在实际问题中，我们往往会碰到这种问题：有n个有多个指标（变量）反应的客体，但是反应客体的指标数并不明确，甚至指标本身是什么也是模糊的，更谈不上直接观测或观察它，仅仅所能知道的是这n个客体之间的某种距离（不一定是通常的欧氏距离）或者某种相似性。我们希望仅由这种距离或者相似性给出的信息，在较低维的欧式空间把这n个客体（作为几何点）的图形描绘出来，从而尽可能地揭示这n个客体之间的真实结构关系。因此，如何利用原始数据的距离矩阵得到低维上的表示，并且重构原始数据的结构，这就是多维尺度分析所要解决的问题。距离阵首先给出距离阵的

2、定义：一个矩阵,如果满足以下条件：称为第与第个点间的距离这里的距离矩阵通常不限于欧式距离。有了距离矩阵，多维尺度法的目的就是要确定维数k，并在k维空间中求n个点,使得n个点的欧式距离与距离阵中的相应值在某种意义下尽量接近。MDS算法推导假设原始数据矩阵为X的矩阵，n为样本数，q是原始数据的维度我们首先构造一个矩阵，为的矩阵。MDS算法推导距离矩阵D的计算公式为：因为，所以：为了方便后面的计算，我们原始数据矩阵进行中心化：MDS算法推导因此同理求得MDS算法推导因为所以MDS算法推导于是联立以下等式：MDS算法推导由上述公式我们可以得到矩阵可以完全由距离阵得

3、出MDS推导距离阵D是由原始数据X生成的，因此D是对称阵的。因此我们根据上面计算出的公式得到的B矩阵也是对称的。前面我们又假设其中，是由矩阵的特征向量组成的矩阵，是由特征向量组成的矩阵因此如果想通过距离阵还原原始数据，就选择B矩阵的q个向量，如果想达到降维的目的，就选择个特征向量。最终降维的数据X为又因为矩阵为协方差矩阵，因此一定是对称矩阵。所以可以对角化：