恒成立的不等式问题（祝大展编公开课）.doc

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1、江安中学数学活动单恒成立不等式问题江苏省江安高级中学数学组执教人：祝大展【教学目标】：1.了解函数中恒成立问题常见的几种题型。2.理解并掌握函数恒成立问题的解题策略。活动一：自主探究(1)∀x时，恒成立，求的取值范围。(2)∀x时，，求的取值范围。(3)∀x时，不等式恒成立，求的取值范围。活动二：恒成立问题解题策略例1.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．变式.已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围．例2、若关于的不等式对任意恒成立，求所有这样的解的集合9江安中学数学活动单例3：设，．（1）若恒成立，求

2、实数的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．活动三：例4．已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围变式：已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.9江安中学数学活动单活动五：课堂检测：1.函数是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又,则满足对所有的及都成立的t的范围是________2.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为3.已知，当时，恒成立，则实数的取值范围．4.已知是偶函数，当恒成立，则的值是__5.已知,若对一切的恒成立，则实

3、数a的取值范围为．活动六课堂小结：1.恒成立问题常用的解题策略有哪些？关键的步骤是什么？2.常见的恒成立问题有哪些题型，各自如何转化？9江安中学数学活动单课后巩固练习1、若不等式在内恒成立，则实数的取值范围为2、若不等式对满足的所有都成立，则实数的取值范围是3、已知，不等式恒成立，求的取值范围（4、若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围注：需要分类讨论，5、若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为8．6、已知为正的常数,若不等式对一切非负实数恒成立,则的最大值为89江安中学

4、数学活动单恒成立的不等式问题活动一：引入：(1)∀x(1,2)时，恒成立，求a的取值范围。(2)∀x(1,2)时，，求a的取值范围。(3)∀x(1,2)时，不等式(x-1)2C例1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．分析：思路1、通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。思路2、通过分离变量，转化到解决，即。思路3、通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方．变式：已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围．例2、若关于的不等式对任意恒成立

5、，求所有这样的解的集合例3：设，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．第（1）（2）小题考查了二次函数的性质、一元二次不等式的解法及分类讨论的基本数学思想，属容易题；第（39江安中学数学活动单）小题以不等式恒成立、函数值域的求法等综合性问题为载体，主要考查了学生观察、判断能力及等价转化能力，属中档题．解：（1）恒成立2分．4分（2），1）当时，，原不等式解集为R；2）当时，原不等式解为：．3)当时，，原不等式的解集为：．8分（3）令它在（1，2）上

6、是增函数，故，从而当时，恒成立即对于恒成立，；因为当时，，所以，12分法一：，所以函数在（3,8）上是减函数．，从而．16分法二：9江安中学数学活动单，其中易知在上单调递增，因此，从而故【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．活动三：∀x∈D，f(x)>g(x)例4：已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围解：由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．活动四：∀x1，x2∈D，例5：已知函数，，其中，．对任意，

7、都有恒成立，求实数的取值范围活动五：课堂检测：1、函数是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又,则满足对所有的及都成立的t的范围是________2、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为9江安中学数学活动单3、已知，当时，恒成立，则实数的取值范围．4、已知是偶函数，当恒成立，则的值是__5、已知,若对一切的恒成立，则实数a的取值范围为．活动六小结：1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是

8、：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)∀x∈D，f(x)>C；(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；(3)∀x1，x2∈D，

9、f(x1)－f(x2)

10、≤C；(4)∀x1，x2∈D，

11、f(x1)－f(x2)

12、≤a

13、x1－x2

14、.3．不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值①若不等式A