求二面角的几何法.doc

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1、.3种求二面角的几法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角的大小的几种法：直二面角情况：一般是通过几求证的法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。例1.如图ABCD是矩形，AB=a，BC=b(a>b)，沿对角线AC把△ADC折起，使AD⊥BC，证明：平面ABD⊥平面BCD。BADC证明：由题意可知：AD⊥BC，AD⊥DC∴AD⊥面BCD又AD面ABD∴平面ABD⊥平面BCD例2.在四棱锥A-BCDE中，底面是直角梯形，其中BC∥DE，∠BCD=90°，且DE=CD=BC，又AB=A

2、E=BC，AC=AD，MNEDABC求证：面ABE⊥面BCD。证明：取BE的中点M，CD的中点N，连结AM，AN，MN，∵AB=AC(已知)∴AM⊥BE同理AC=AD有AN⊥CD在直角梯形BCDE中，∵M、N分别是BE、CD的中点∴MN∥BC又∠BCD=90°∴MN⊥CD∴CD⊥面AMN∴CD⊥AM又AM⊥BE，CD、BE是梯形的两个腰，即它们一定相交，页脚.∴AM⊥面BCD，又AM面ABE∴面ABE⊥面BCD。当二面角不是直二面角时可以采用下面几种法。1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。例3

3、.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。DPCAB解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°例4.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的

4、二面角的度数。EDBASC解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，页脚.则BC=SB=a且AC=易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°例5.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。SRNMOBDPAC解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作

5、NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴∴∴2.利用此法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些。DBAEC例6.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD的射影页脚.∴△EBD为△ABD在面BCD的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=∴AD=，∴sin∠ABD

6、=∴又∴∴考虑到我们求的是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-C互补∴二面角A-BD-C的余弦值为。例7.已知正体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。D’B’DAC’BA’CMN解：设边长为a，易证ANC'N是菱形且MN=，A'C=∴Ｓ□AMC'N=由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正形ABCD∴Ｓ□ABCD=∴页脚.∴取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，Ｓ□DM'C'M=∴∴3.利用公式这个公式是异面直线上二点的距离公式，我们稍作改造便

7、可以用于求二面角的大小。事实上，以公垂线AA'与a构成平面α，AA'与b构成平面β，则θ是两异面直线所成的角变成了二面角α-AA'-β的平面角或它的补角（要注意它们的围可能发生了变化）。例8.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角的大小。BFEACD解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，∵AC=CD=1∠ABC=30°∴AD=，BC=，AB=2，BD=在Rt△ABC中，，同理∴页脚.∴∴∴即所求角的大小为。例9.三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30