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2、百度首页登录加入VIP意见反馈下载客户端2/17/2019五法求二面角-百度文库首页分类精品内容申请认证机构合作频道专区百度智慧课堂百度教育VIP五法求二面角百度文库教育专区高中教育数学高二数学上犹中学数学教研组刘道生从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。一、定义法：从一条直线出发的两个半
3、平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD中，底
4、面ABCD为矩形，SD^底面ABCD，AD=2DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ÐABM=60°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二面角S-AM-B的大小。证（I）略解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BF^AM交AM于点F，则点F为AM的中点，过F点在平面ASM内作GF^AM，GGF交AS于G，F连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵F为AM的中点，∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则ÐGFB即为所求二面角.2∵SM=2，则GF=，又
5、∵SA=AC=6，∴AM=220∵AM=AB=2，ÐABM=60∴△ABM是等边三角形，∴BF=360311在△GAB中，AG=，AB=2，ÐGAB=90，∴BG=+4=222https://wenku.baidu.com/view/35990d7931b765ce0508148d.html1/82/17/2019五法求二面角-百度文库111222+3-GF+FB-BG22-26cosÐBFG=2GF×FB=2=6=-32´´326∴二面角S-AM-B的大小为arccos(-)3练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD
6、为菱形，PA⊥平面ABCD，ÐABC=60°,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角6的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二15面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为）5二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
7、斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC-C中半平面1BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂D1 C1 足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构A1 B1 图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。E1 DC例2．(2009山东卷理)如图，在直四棱柱EABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AFB1111AB//CD
8、，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。111（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。1证（1）略解（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以D1 C1 BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,A1 F1B1 PE1 DCOEhttps://wenku.baidu.com/view/35990d7931b765ce0508148d.html2/8AFB2/17/2019五法求二面角-百度文库又因为直四棱柱ABCD-A1B1
9、C1D1中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC1-C
