“变”中找“定”——浅析平面向量几何法-论文.pdf

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1、·32·中学教研(数学)“变"中找“定"——浅析平面向量几何法●周荣阳(云和中学浙江云和323600)物质世界中的万事万物都处在相互作用的普(2)若平面向量a，b满足JaI=1，lbl≤1，且1遍联系之中，都处在不断产生、不断消亡的运动、变以n，b为邻边的平行四边形的面积为÷，则化和发展的永恒过程之中，运动是永恒的、静止是二相对的，运动和静止之间存在普遍的联系．在数学的范围是——．中也是如此，我们经常会遇到一些变化和运动的问(2011年浙江省数学高考理科试题)题，而合理的分析和利用变化中的不

2、变性，让“变”分析(1)向量=(COSO~，A-sinot)是变与“定”有机地结合起来，对于解决问题往往能起量，但ll-是定值，可知点A的轨迹是以点C到一针见血的作用．下面结合平面向量几何法的教为圆心、半径为的圆(如图1所示)，当直线学实践浅析“变”与“定”之间的对立统一关系．与oC相切时，易得与D西夹角的取值范围为平面向量丰富了高中数学内容，同时作为工具[15。，75。]．性知识，可以与很多知识联系．平面向量具有双“二维”性，即本身有方向、大小，运算有代数、几何，大大地提高了学生学习这块知识的能力要

3、求．在高考中大多以选择题和填空题的形式出现，题目灵活、多变，部分题目以能力立意命题，要求学生有一定的数形结合思想和能力．教师在平面向量的课堂教学和复习中经常会用到向量的几何法，渗透数图1图2形结合的思想，但学生对于数形结合能力的掌握却(2)如图2，设0,4=a，=b，向量0是变量，1不一定到位，“光有思想没有能力”是很多学生在但结合以口，b为邻边的平行四边形的面积为÷，知二学习平面向量时的困惑．1在平面向量的几何法中，紧扣向量运动变化中点B到直线OA的距离为÷(定值)，故4,B的轨迹二的定性，结合定值

4、，合理作图，可以使很多抽象的问是与直线OA平行的直线BC或Bc，．由Ibl≤1可题变得直观、具体，易于切中要害，立竿见影．平面知点日在以0为圆心、半径为1的圆上或圆内．综向量的几何运算中往往涉及长度、夹角、和、差、数合考虑，可知动点的轨迹为线段BC或线段量积、投影等概念和知识点，如能把握上述量中的Bc，易得<口，b>的最小值为／BOA=30。，最大不变量，就可以轻松地在变化和运动中求解一类定值为COA=150。．值和最值问题．22个向量的夹角为定值问题1向量的长度为定值问题平面向量的方向一般不单独考查

5、，但2个或多在平面向量的教学中，有这样的问题：把平面个平面向量放在一起研究时，由于有了参照物，就内所有的单位向量移到同一起点，则终点构成什么可以研究2个向量的夹角问题．当2个向量的夹角样的图形?答案是单位圆．这类问题中向量的方向为定值时，可以结合同弧(弦)所对的圆周角相等任意变化，而长度为定值，可以结合到定点的距离作出点的轨迹，数形结合解决问题．等于定值的点的轨迹为圆，数形结合几何作图，利例2(1)已知平面向量，(≠O，≠)满用圆的性质解决问题．足I卢I_1，且与p—的夹角为120。，则Il的取例1(

6、1)已知向量oB=(0，2)，od：(2，2)，值范围是——．=(Zcos,~，4~-sina)，则与oti夹角的取值范围(2010年浙江省数学高考理科试题)是．第10期周荣阳：“变”中找“定”·33·(2)已知a，b是平面内的2个单位向量，a·例3(1)在平行四边形ABCD中，AB=2，b=一÷，若向量c满足<口一c，6一c>=60。，求AD=1，／_DAB=，E为线段CD上任意一点，则JlcI的最大值．AE·B的最小值为一(2011年全国数学高考试题)(2)已知：4，一OB：2LAOB：，一OC：

7、，分析(1)如图3所示，令AB=，Ae=卢，则JBe=卢一因为与一的夹角为120。，所以OA+YOB，且+2y=1，则IDeI的最小值是／ABC=60。．又IACI=1，且线段AC所对的角LABC=60。，结合同弦所对的圆周角相等可知点分析(1)如图5，向量AE与BE都是变量，但A的运动轨迹是定量，可以结合共线向量定理．设B的轨迹是以线段AC为弦的圆(除去点与点C)，lI的最大值为圆的直径，即DE=tAB(0≤￡≤1)，AB，AD的长度是定值，夹角也IACI是定值，可以直接计算数量积．把A百，A作为一

8、组==⋯，基底来表示不定向量AE与BE，即．---+———·}—————————0AE=AD+tAB，BE=AD+(t一1)AB，故0