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1、几何的教育价值及地位如果说,数学是各国中小学课程中最为统一的一门学科的话,那么,几何就是其中最不统一的一部分,其原因就在于几何的多样性。几何的多样性首先反映在它的特征上,其中包括作为空间科学的几何;作为概念和过程的直观表示的几何;作为数学理论与数学模型源泉的结合点的几何;作为思维和理解的一种途径的几何;作为演绎推理教学范例的几何;作为应用的工具的几何等。其次反映在它的活动方式上。几何活动一般涉及三种认知过程:视觉、构造、推理,每一种过程通常又涉及多个方面,如从视觉上看,有维度上的不同,结构上的差异,背景上的区分,位置上的变化;从构造上看,有实验性的
2、操作,直观的构造,概念的形成,理论的构建;从推理上看,包括直觉的推理,归纳的推理,非严格的自然推理,严密的演绎推理。正因为如此,几何既可以作为不同水平的创造活动的源泉,也可以成为训练各种推理能力的场所;既可以作为日常生活中所必需的基础知识,也可以成为解决各种问题的工具。此外还反映在课程处理的途径上。从认知过程看,有操作的、直觉的、演绎的或者分析的几何;从课程结构上看,有静止的与动态的几何;从课程形式上看,又可以分为实验几何、欧氏几何、仿射几何、解析几何、拓扑几何、非欧几何等。几何的多样性带来了几何众多的教育价值。从各国的研究情况看,几何的教育价值主
3、要表现在以下几个方面。1.几何有利于形成科学世界观和理性精神现代社会的一个显著特征是,科学已经成为社会的一个直接的生产力。因此,学校教育的一个重要方面是让学生熟悉如何构造科学理论的一个具体实例,熟悉科学的方法。在这点上,作为世界文明史上的一个科学系统,几何是极好的模型,因为几何从简单而清楚的基础出发,运用推理的方法(以若干明显的步骤),有顺序地导出一系列重要的推断,这些推断不仅有着广泛的应用领域,而且使人在这变幻莫测的世界上体验到数学的确定性。正如爱因斯坦所说:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个
4、命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何。推理的这种可赞叹的胜利,使人类的理智获得了取得以后成就所必需的信心。”因此,学校中的几何教学有助于学生科学世界观的形成。俄罗斯(包括东欧的一些国家)的几何课程就比较重视这一点。相比之下,西方所追求的理性精神则具有更为广泛的意义,它不仅包括方法论的成分(如科学的世界观),也包括情感方面的因素(如科学的态度)。但即便如此,几何也仍然是一个很好素材。而且,这种意义上的拓广也有利于摆脱欧氏逻辑体系和演绎推理(特别是传统三段论)的框框。2.几何有助于培养良好的思维习惯波利亚说过,数学教育的意义并不是要教会学
5、生去使用数学知识,而是要培养学生的思维习惯,一种数学文化修养。从这层意义上讲,几何是一种有效的训练手段。几何材料具有深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次。通过几何的学习可以使学生学会利用不同途径去解决问题,对几何结果形成合理的猜想,对数量结论进行快速的估计,为解决具体问题提供直观的模型,进而养成推理严谨、言必有据和条理化的思维习惯。3.几何有助于发展演绎推理和逻辑思维能力这一点,在欧氏几何两千多年的历史中已经得到了充分的肯定。正如英国学者费克尔(D.S.Fielker)所说:“欧几里德的那些定理之所以重要,不是因为它是有用的,能够应用的或
6、它们本身的价值,而是因为他们是演绎推理系统的自然发展的一部分。”当然,对于欧氏几何在发展演绎推理和逻辑思维能力中的作用,我们还是应该辨证地看待。首先,几何在培养逻辑思维和演绎推理能力方面仍有着重要的作用,这是毫无疑问的。因为几何要求对思维进行系统的、较为严格的训练,这有利于对演绎推理有较深入的理解。当学生掌握了定义的作用并且学习只运用这些定义而不运用他的直觉知识时(这些知识常常凌驾于具有定义所呈现的性质的对象上),当他不得不谨慎地区分直觉的途径、直觉的真实性和证据与推理的方法时,他就开始理解什么是论证。正是在几何中(而不是在代数中)产生的这种直觉和
7、形式化的十分特殊的联系,使得几何仍然成为启发逻辑思维和培养演绎推理能力的最有效的途径。也正是因为这个缘故,几何不能被当作一个完全成熟的精确模型,而应该作为一种训练工具,使学生通过训练掌握逻辑思维和演绎推理的基本方法:如发现解决问题的“好”的策略;从特殊情形探索出一般结果;寻找命题的不同证明;逐步地形成理论等等。其次,在初级阶段,几何作为一种训练逻辑思维与演绎推理的工具,有它的长处,它的内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性以及推理过程的可预见性,使它成为训练逻辑思维与演绎推理的理想材料。但是,从本质上来说,逻辑思维与演绎推理不能依赖于直观和直觉,
8、因此,要使学生的逻辑思维水平达到较高层次,纯符号推理的代数证明应该引起足够的重视。此外,欧氏综合几何也不能被认为是中学中演
