《高等数学》教学课件：高数1_5 极限运算法则.ppt

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1、§1．5极限运算法则定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小．推论常数与无穷小的乘积是无穷小．推论有限个无穷小的乘积也是无穷小．定理有限个无穷小的和也是无穷小．无穷小的性质极限的四则运算法则定理（1、2、3）如果limf(x)=A，limg(x)=B，则（1）lim[f(x)g(x)]存在，且lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x)．（2）limf(x)·g(x)存在，且limf(x)·g(x)=A·B=limf(x)·limg(x)．证明定理3的证明：因为limf(x)=A，limg(x)=B，由第四节定理1有f(x)=A+a，g(

2、x)=B+b，其中a及b为无穷小．于是f(x)g(x)=(A+a)(B+b)=(AB)+(ab)由ab是无穷小．再由第四节定理1，得lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x)．定理1可推广到有限个函数的情形，例如，如果limf(x)，limg(x)，limh(x)都存在，则由定理1有lim[f(x)+g(x)-h(x)]=lim{f(x)+[g(x)-h(x)]}=limf(x)+lim[g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x)．定理1的推广：推论1如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[

3、cf(x)]=climf(x)．推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n．定理2的推论：定理4如果j(x)f(x)，而limj(x)=a，limf(x)=b，那么ab．求极限举例：极限运算法则解1．=2·11解讨论：当x®x0时，多项式的极限极限运算法则解解0，有理分式的极限观察：设多项式P(x)a0xna1xn1···an，则a0x0na1x0n1···anP(x0)．设Q(x)也是多项式，，当Q(x0)0时，当P(x0)0，Q(x0)0时，=先用x3去除分子及分母,然

4、后取极限:解极限运算法则先用x3去除分子及分母,然后取极限:解解应用例6的结果并根据第五节定理2即得根据例5、6、7讨论有理函数当x时的极限：讨论：其中a00、b00，m和n为非负整数．=．结论：当a00、b00，m和n为非负整数时．a0b0，当n=m，，当nm，解当x时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用．但这是无穷小与有界函数的乘积，所以