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《1992考研数四真题及解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、Borntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设,则__.(2)设商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是__.(3)已知,则__的定义域为__.(4)矩阵的非零特征值是__.(5)设对于事件、、,有,则、、三个事件中至少出现一个的概率为__.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设,其中为连续函数,则等于()(A)(B)(C)0(D)不存在(
2、2)当时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?()(A)(B)(C)(D)(3)设,,均为阶可逆矩阵,则等于()(A)(B)(C)(D)(4)设均为维列向量,那么,下列结论正确的是()Borntowin(A)若,则线性相关(B)若对任意一组不全为零的数,都有,则线性无关(C)若线性相关,则对任意一组不全为零的数都有(D)若,则线性无关(5)设当事件与同时发生时,事件必发生,则()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)求极限.四、(本题满分5分)计算五、(本题满分5分)求连续函数,使它满足.六、(本题满分6分)设,求(其中函数具有二阶偏导数).七、(本题满
3、分6分)设生产某产品的固定成本为10,而当产量为时的边际成本函数为,边际收入函数为.试求：(1)总利润函数； (2)使总利润最大的产量．Borntowin八、(本题满分6分)求证：方程恰有一个实根,其中,为常数,且．九、(本题满分8分)给定曲线.(1)求曲线在横坐标为的点处的切线方程；(2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.十、(本题满分5分)设矩阵,矩阵满足.其中为三阶单位矩阵,试求出矩阵.十一、(本题满分5分)设线性方程组的系数矩阵为,三阶矩阵,且.试求的值.十二、(本题满分6分)已知实矩阵满足条件：(1),其中是的代数余子式；(2).计算行列式.十三、(本题满分
4、7分)假设测量的随机误差,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).[附表]1234567…Borntowin0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001…十四、(本题满分7分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,和0.30.假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部件数,试求的概率分布、数学期望和方差.Borntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分1
5、5分.)(1)【答案】【解析】此题考查重要极限：将函数式变形,有,故.【相关知识点】两函数乘积的求导公式.(2)【答案】【解析】根据,得价格,又由得,按照经济学需求弹性的定义,有,令,解得.所以商品价格的取值范围是.(3)【答案】,【解析】本题主要是要弄清楚反函数和原函数的定义域、值域之间的关系.由于的反函数的定义域为,而,故应满足,解此不等式即得.因此,的定义域为.(4)【答案】4【解析】对矩阵的特征多项式进行行列式的等价变换,注意到各列和相等,所以将第二、三、四行都加到第一行上,有Borntowin将第一行的公因式提出到行列式外面,有再将第一行分别加到第二、三、四行上,有.令
6、,得矩阵的特征值：.故矩阵的非零特征值为4.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.(5)【答案】【解析】因,而,故．由概率的广义加法公式：二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1:为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以可应用洛必达法则..故应选(B).方法2:特殊值法.取,则.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：Borntowin若,,均一阶可导,则.(2)【答案】(D
7、)【解析】由于时,,故是同阶无穷小.故应选(D).事实上,由洛必达法则,为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有,可知,当时,是的三阶无穷小量.【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限(1)若称在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3)若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.若不存在(不为),称不可比较.(3)【答案】(C)【解析】因为,,都可逆,由可逆矩阵的定义,有,,.由逆
